2.2 Последовательный колебательный контур
Рассмотрим цепь, состоящую из активного, индуктивного и емкостного сопротивлений, показанную на рисунке 2.1. Такая цепь называется последовательным колебательным контуром. Пусть ток задан. Попробуем найти входное напряжение этой цепи, для чего построим векторную диаграмму. Падение напряжения на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, падение напряжения на индуктивности опережает ток на 90°, а падение напряжения на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90°. Результирующее напряжение равно геометрической сумме этих трех векторов. В данном случае индуктивное сопротивление было принято больше емкостного.
Рисунок 2.1 Последовательный колебательный контур
В связи с тем, что вектор результирующего напряжения является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого представляет собой падение напряжения на активном сопротивлении, другой катет является разностью между падениями напряжения на индуктивном и емкостном сопротивлениях, а все напряжения пропорциональны току, можно найти полное сопротивление цепи:
(2.1)
Представляет интерес случай, когда индуктивное сопротивление равно емкостному. При этом Z = r и, как показано на рисунке 2.2, все приложенное напряжение падает на активном сопротивлении. Падения напряжения на катушке и конденсаторе могут значительно превышать приложенное напряжение, а ток и приложенное к цепи напряжение совпадают по фазе. Такое явление соответствует резонансу и имеет огромное практическое применение в радиотехнике. Резонанс наступает при определенной частоте, на которой индуктивное и емкостное сопротивления равны. Такая частота называется резонансной и может быть найдена по формуле:
или
.
(2.2)
Если индуктивность выражена в генри, а емкость - в фарадах, то угловая частота получается в радианах в секунду, а частота - в герцах.
Рисунок 2.2 Резонанс напряжений
Выражение для полного сопротивления цепи можно преобразовать следующим образом:
=
=
и
ввести такие обозначения:
(2.3)
у
(2.4)
где ρ называется волновым сопротивлением и выражается в омах, а у -безразмерная величина, называемая относительной расстройкой. Тогда выражение для полного сопротивления цепи можно записать следующим образом:
Отношение волнового сопротивления к активному называется добротностью и обозначается буквой Q. Тогда окончательно получим:
(2.5)
Оценим физический смысл полученных формул. Резонансная частота обратно пропорциональна индуктивности и емкости, если извлечь из их значений квадратный корень. Значит, для увеличения частоты резонанса, скажем, в 2 раза индуктивность или емкость нужно уменьшить в 4 раза. Относительная расстройка представляет собой меру отклонения фактической частоты протекающего в цепи тока от резонансной. Относительная расстройка может быть положительной, когда частота тока больше резонансной частоты, и отрицательной, когда частота меньше резонансной. В связи с тем, что угловая частота связана с частотой постоянным коэффициентом 2π, в формуле (2.4) вместо угловой частоты можно использовать частоту: относительная расстройка от этого не изменяется. Чем больше индуктивность при постоянной емкости или чем меньше емкость при постоянной индуктивности, тем больше волновое сопротивление. В связи с тем, что произведение индуктивности на емкость определяет резонансную частоту, а их отношение - волновое сопротивление, заданное значение частоты резонанса можно получить при самых разных значениях индуктивности и емкости, подчиняя их выбор нужному значению волнового сопротивления. Так, если заданы угловая частота и волновое сопротивление, индуктивность и емкость для резонанса на этой частоте можно найти по формулам:
(2.6)
Если заданы резонансная частота и одна из двух реактивностей (индуктивность или емкость), другую реактивность можно найти по формулам:
(2.7)
Поэтому, подставив поочередно эти значения реактивностей в формулу для определения волнового сопротивления, получим:
(2.8)
Таким образом, волновым сопротивлением является индуктивное сопротивление катушки и емкостное сопротивление конденсатора на резонансной частоте. Они, естественно, равны, так как это равенство является условием резонанса. Из формулы (2.5) видно, что при резонансе полное сопротивление минимально и равно активному сопротивлению, так как расстройка равна нулю. Чем больше отклонение частоты от резонансной, чем больше относительная расстройка, тем больше полное сопротивление, которое не зависит от знака расстройки, так как она входит в формулу в квадрате.
Добротность показывает, во сколько раз волновое сопротивление больше активного и во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости больше напряжения на активном сопротивлении или больше входного напряжения при резонансе. Обычно на радиочастотах (в диапазонах ДВ, СВ и KB) добротность имеет порядок ста. Таким образом, при резонансе напряжения на индуктивности и емкости оказываются в 100 раз больше входного напряжения.
Если на вход последовательного контура подать фиксированное напряжение и изменять его частоту, ток будет максимален на резонансной частоте, на которой полное сопротивление контура минимально. В связи с тем, что полное сопротивление на частоте резонанса равно активному, сила тока равна отношению входного напряжения к активному сопротивлению. На рисунке 2.3 показана зависимость относительного значения тока последовательного контура от расстройки при разных значениях добротности, определенная как отношение силы тока при данной расстройке к силе тока при расстройке равной нулю. Такие кривые называются резонансными кривыми, или амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ). Иногда их называют просто частотными характеристиками.
Рисунок 2.3 Зависимости тока от расстройки последовательного контура
Часто вместо добротности контура используется понятие его затухания, представляющее собой величину, обратную добротности. Затухание, так же как добротность, является величиной безразмерной и обозначается буквой d:
d= 1/Q. (2.9)
Резонанс в последовательном колебательном контуре называют последовательным резонансом или резонансом напряжений, так как напряжения на индуктивности и емкости противоположны по фазе и при резонансе их разность равна нулю.