Исследование качества технологических процессов и продукции с применением статистических методов
Для исследования качества выполнения технологических процессов или выпускаемой продукции из-за большого объема выпускаемой продукции очень часто применяются статистические методы исследования и анализа. В их основу положены методы определения достоверной (с определенным уровнем достоверности) выборки из генеральной совокупности.
Взяв выборку из
генеральной совокупности и вычисляя
статистические характеристики этой
выборки –
и S, можно с некоторой приближенностью
считать, что эти характеристики по своим
величинам будут близки к соответствующим
параметрам генеральной совокупности
–
и
,
то есть это их оценки.
Если
,
где
– среднеарифметические значения
случайной величины соответственно в
генеральной совокупности и в выборке
объема n;
– среднеквадратические
отклонения изучаемой величины
соответственно генеральной совокупности
и в выборке из нее n,
то по заданной точности
и вероятности
приближенного
равенства
можно определить необходимый объем
выборки
,
где t
определяется в зависимости от вероятности
,
.
Значения t, q определяются по таблице 2.1 задания по обведенному преподавателем варианту. По этим величинам определяется объем выборки. В зависимости от полученного объема выборки и своего индивидуального шифра студент определяет
Студенты в зависимости от исходных данных t и q определяется выборка данных из общей совокупности и сводится в таблицу следующей формы.
Таблица 2.1 – Данные по статической нагрузке за определенный период
Номер |
Значение величины стат. нагрузки, т, Х |
Номер |
Значение величины стат. нагрузки, т, Х |
Номер |
Значение величины стат. нагрузки, т, Х |
1 |
|
21 |
|
41 |
|
2 |
|
22 |
|
… |
|
3 |
|
23 |
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
Для построения
гипотезы о законе распределения
необходимо обработать имеющиеся
статистические данные. Сперва находятся
наибольшее
и наименьшее
значения наблюдаемого параметра X (в
нашем примере).
Определяется размах варьирования или широта распределения, который при этом составляет
R= –
Число интервалов разбиения рекомендуется определить по формуле Стерджесса:
.
Или можно задать число интервалов (m = 7 при п = 5 – 100, m = 9 – 15 при п >100). Далее необходимо определить цену деления интервала:
Разрядность интервала должна быть не больше разряда измеряемого параметра.
Подсчет частот по
каждому интервалу удобно производить
следующими способами. Слева выписываются
интервалы от
до
;
от
до
и т.д. В каждый интервал включают
полученные значения выборки, лежащие
в пределах от наименьшего значения
интервала включительно, до наибольшего
значения интервала исключительно.
Справа при помощи черточек можно
подсчитывать число размеров по интервалам
(пример оформления – таблица 2.2).
Таблица 2.2 – Расчет попаданий значений статической нагрузки в определенные интервалы
Интервалы |
Подсчет частот |
Частота f |
|
от |
до |
||
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
2 |
|
|
|
|
По данным таблицы 2.2 вычерчивается эмпирическая (экспериментальная) кривая распределения (по оси абсцисс откладывают середины интервалов, по оси ординат – частоты). На основании таблицы частот и эмпирической кривой распределения выдвигается гипотеза о распределении случайной величины. В нашем случае может оказаться правомерной гипотеза о нормальном распределении, которое часто применяется при решении задач математической статистики и статистического контроля качества. Такое распределение свидетельствует об устойчивости процесса, так как значительные отклонения от номинального значения встречаются редко.
Выдвинутую гипотезу необходимо проверить.
Чтобы найти и проверить закон распределения рассчитываются числовые характеристики:
• среднеарифметическое отклонение по формуле:
• среднеквадратическое отклонение по формуле:
где п
– объем выборки;
– определенные параметры.
При наличии обширных данных (объемной выборки) вычисление среднеарифметического и среднеквадратичного отклонения весьма трудоемко. Поэтому на практике для расчета этих статистических характеристик составляют таблицу предварительной обработки данных (таблица. 2.3).
Таблица 2.3 – Расчет статистических характеристик измеряемой величины
Интервал |
Середина интервала |
Частота
|
|
|
|
|
|
от |
до |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае можно воспользоваться следующими формулами:
,
,
где – это уже середина интервала.
Затем следует
проверить гипотезу нормальности
распределения совокупности, из которой
была взята выборка. Для этого нужно
составить вспомогательную таблицу для
вычисления критерия
(таблица 3.4).
Таблица 2.4 – Расчетная таблица для определения теоретических частот распределения
Середина интервала |
t |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В таблице значение t вычислено по формуле:
.
Значения принимаются по таблице нормального распределения вероятностей (таблица 2.5).
Таблица 2.5 – Нормальное распределение вероятностей
-
t
t
t
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
0,3989 0,3980 0,3910 0,3814 0,3683 0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661 0,2420 0,2179 0,1942 0,1714
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
0,1497 0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656 0,0540 0,0440 0,0355 0,0289 0,0224 0,0175 0,0136 0,0104
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,0070 0,0060 0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
Значение
постоянно для всех значений
.
Необходимо определить
– теоретическую частоту. По теоретическим
частотам необходимо построить
теоретическую кривую распределения в
том же масштабе, что был принят для
построения эмпирической кривой. Совмещая
эмпирическую и теоретическую кривые
распределения, можно предварительно
оценить близость эмпирического
распределения предлагаемому теоретическому.
Для более точной оценки необходимо
вычислить
и
– накопленные эмпирические и теоретические
частоты, прибавляя к каждому значению
и
,
суммы предшествующих значений
или
.
Критерий находится по формуле:
.
По таблице 2.6
находится
.
Таблица 2.6 – Определение вероятности критерия
|
|
|
|
|
|
0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 |
1,0000 0,9997 0,9972 0,9874 0,9639 0,9228 0,8643 0,7920 0,7112 0,6272 |
0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 |
0,5441 0,4653 03927 0,3275 0,2700 0,1777 0,1122 0,0681 0,0397 0,0222 |
1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 |
0,0120 0,0062 0,0032 0,0015 0,0007 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 |
Если вероятность оказалась очень малой (практически, когда < 0,05), то расхождение эмпирического и теоретического распределения считается существенным, а не случайным, и гипотеза о нормальности закона распределения величины X отвергается.
Процент возможных предельных отклонений (для статической нагрузки это недогрузы и перегрузы) определяется из сопоставления , S и заданных предельных значений измеряемого показателя x1 и x2, (соответственно максимально и минимально допустимые значения). Значения x1 и x2 определяются по формулам, приведенным в задании в зависимости от m (полусуммы последних двух цифр индивидуального шифра).
Таблица 2.7 – Нормированная функция Лапласа
t |
Ф(t) |
t |
Ф(t) |
t |
Ф(t) |
t |
Ф(t) |
0,00 |
0,0000 |
0,80 |
0,2881 |
1,60 |
0,4452 |
2,40 |
0,4918 |
0,02 |
0,0008 |
0,82 |
0,2939 |
1,62 |
0,4474 |
2,42 |
0,4922 |
0,04 |
0,0016 |
0,84 |
0,2995 |
1,64 |
0,4495 |
2,44 |
0,4927 |
0,06 |
0,0024 |
0,86 |
0,3051 |
1,66 |
0',4515 |
2,46 |
0,4931 |
0,08 |
0,0032 |
0,88 |
0,3106 |
1,68 |
0,4533 |
2,48 |
0,4934 |
0,10 |
0,0040 |
0,90 |
0,3159 |
1,70 |
0,4554 |
2,50 |
0,4938 |
0,12 |
0,0048 |
0,92 |
0,3212 |
1,72 |
0,4573 |
2,52 |
0,4941 |
0,14 |
0,0557 |
0,94 |
0,3264 |
1,74 |
0,4591 |
2,54 |
0,4945 |
0,16 |
0,0636 |
0,96 |
0,3315 |
1,76 |
0,4608 |
2,56 |
0,4948 |
0,18 |
0,0714 |
0,98 |
0,3365 |
1,78 |
0,4625 |
2,58 |
0,4951 |
0,20 |
0,0793 |
1,00 |
0,3412 |
1,80 |
0,4641 |
2,60 |
0,4953 |
0,22 |
0,0871 |
1,02 |
0,3461 |
1,82 |
0,4656 |
2,62 |
0,4956 |
0,24 |
0,0948 |
1,04 |
0,3508 |
1,84 |
0,4671 |
2,64 |
0,4959 |
0,26 |
0,1026 |
1,06 |
0,3554 |
1,86 |
0,4688 |
2,66 |
0,4961 |
0,28 |
0,1103 |
1,08 |
0,3599 |
1,88 |
0,4699 |
2,68 |
0,4963 |
0,30 |
0,1179 |
1,10 |
0,3643 |
1,90 |
0,4713 |
2,70 |
0,4965 |
0,32 |
0,1255 |
1,12 |
0,3686 |
1,92 |
0,4726 |
2,74 |
0,4969 |
0,34 |
0,1331 |
1,14 |
0,3729 |
1,94 |
0,4738 |
2,78 |
0,4973 |
0,36 |
0,1406 |
1,16 |
0,3770 |
1,96 |
0,4750 |
2,82 |
0,4976 |
0,38 |
0,1480 |
1,18 |
0,3810 |
1,98 |
0,4761 |
2,86 |
0,4979 |
0,40 |
0,1554 |
1,20 |
0,3849 |
2,00 |
0,4772 |
2,90 |
0,4981 |
0,42 |
0,1628 |
1,22 |
0,3888 |
2,02 |
0,4783 |
3,00 |
0,4986 |
0,44 |
0,1700 |
1,24 |
0,3925 |
2,04 |
0,4793 |
3,20 |
0,4993 |
0,46 |
0,1772 |
1,26 |
0,3962 |
2,06 |
0,4803 |
3,40 |
0,4996 |
0,48 |
0,1844 |
1,28 |
0,3997 |
2,08 |
0,4812 |
3,60 |
0,4998 |
0,50 |
0,1915 |
1,30
|
0,4032 |
2,10 |
0,4821 |
3,80 |
0,499929 |
0,52 |
0,1985 |
1,32 |
0,4066 |
2,12 |
0,4830 |
4,00 |
0,499968 |
0,54 |
0,2054 |
1,34 |
0,4099 |
2,14 |
0,4838 |
4,50 |
0,499997 |
0,56 |
0,2123 |
1,36 |
0,4131 |
2,16 |
0,4846 |
5,00 |
0,499999 |
0,58 |
0,2190 |
1,38 |
0,4162 |
2,18 |
0,4854 |
|
|
0,60 |
0,2257 |
1,40 |
0,4192 |
2,20 |
0,4861 |
|
|
0,62 |
0,2324 |
1,42 |
0,4222 |
2,22 |
0,4868 |
|
|
0,64 |
0,2389 |
1,44 |
0,4251 |
2,24 |
0,4875 |
|
|
0,66 |
0,2454 |
1,46 |
0,4279 |
2,26 |
0,4881 |
|
|
0,68 |
0,2517 |
1,48 |
0,4306 |
2,28 |
0,4887 |
|
|
0,70 |
0,2580 |
1,50 |
0,4332 |
2,30 |
0,4893 |
|
|
0,72 |
0,2642 |
1,52 |
0,4357 |
2,32 |
0,4898 |
|
|
0,74 |
0,2704 |
1,54 |
0,4382 |
2,34 |
0,4904 |
|
|
0,76 |
0,2764 |
1,56 |
0,4406 |
2,36 |
0,4909 |
|
|
0,78 |
0,2823 |
1,58 |
0,4429 |
2,38 |
0,4913 |
|
|
Процент возможных отклонений по верхнему пределу (перегрузу):
.
Процент возможных отклонений по нижнему пределу:
.
Вероятный процент выполнения заданных параметров погрузки
где Ф(t) – нормированная функция Лапласа (находится по таблице 2.7);
x1,x2 – соответственно верхняя и нижняя нормативные границы параметров.
Пример выполнения работы № 2.
Приведем пример расчета для студента с условным шифром 916.
Для
выполнения работы необходимо знать,
что
,
а k
= 16 (последние две цифры шифра).
Зная, что в задании в таблице 2.1 обведен вариант № 15 получаем исходные данные для определения объема выборки: t=2,08; q=0,20, а объем выборки составит:
значений.
Выбор значений производится согласно определенному по шифру числу k . В качестве выборки выбирается непрерывный ряд значений расположенных на местах от числа k включительно до k+n-1. В нашем примере должны выбираться значения показателя с 16-го по 70-й включительно (всего 55 значений).
Приведем таблицу со значениями измеряемого на станции параметра
Таблица 2.8 – Выборка значений по статической нагрузке за определенный период
Номер |
Значение величины стат. нагрузки, т, Х |
Номер |
Значение величины стат. нагрузки, т, Х |
Номер |
Значение величины стат. нагрузки, т, Х |
1 |
66 |
21 |
40 |
41 |
43,9 |
2 |
42,3 |
22 |
41,5 |
42 |
37,6 |
3 |
29,9 |
23 |
23,7 |
43 |
31,3 |
4 |
47 |
24 |
46,7 |
44 |
18,2 |
5 |
30,9 |
25 |
40,8 |
45 |
63,7 |
6 |
48 |
26 |
16,3 |
46 |
38,2 |
7 |
31,2 |
27 |
26,9 |
47 |
60,9 |
8 |
65,3 |
28 |
36,8 |
48 |
12,8 |
9 |
33,9 |
29 |
52,1 |
49 |
28,3 |
10 |
33,5 |
30 |
40,3 |
50 |
57,5 |
11 |
49,9 |
31 |
61,8 |
51 |
37,7 |
12 |
34,8 |
32 |
37,9 |
52 |
20 |
13 |
57,8 |
33 |
43,2 |
53 |
33 |
14 |
38,5 |
34 |
39,2 |
54 |
55 |
15 |
48,7 |
35 |
42,4 |
55 |
30,1 |
16 |
39 |
36 |
30,8 |
|
|
17 |
53,1 |
37 |
24,1 |
|
|
18 |
32 |
38 |
41,8 |
|
|
19 |
60 |
39 |
36,1 |
|
|
20 |
39,9 |
40 |
55,9 |
|
|
Проанализировав значения Xi следует отметить, что = 66, а = 12,8.
Размах варьирования составляет R = – = 66 -12,8 = 53,2.
Число интервалов разбиения, определенное по формуле Стерджесса составит
.
Далее определяем цену деления интервала:
Произведем подсчет частоты попадания измеряемого параметра в интервалы.
Таблица 2.9 – Расчет попаданий значений статической нагрузки в определенные интервалы
№ |
Интервалы |
Подсчет частот |
Частота f |
|
от |
до |
|||
1 |
12,8 |
20,4 |
|
4 |
2 |
20,4 |
28 |
|
3 |
3 |
28 |
35,6 |
|
12 |
4 |
35,6 |
43,2 |
|
18 |
5 |
43,2 |
50,8 |
|
6 |
6 |
50,8 |
58,4 |
|
6 |
7 |
58,4 |
66 |
|
6 |
|
|
|
|
|
По данным таблицы 2.9 вычерчивается эмпирическая (экспериментальная) кривая распределения (по оси абсцисс откладывают середины интервалов, по оси ординат – частоты). Эмпирическая кривая приведена на рисунке 1.
Рисунок 1 – Эмпирическая кривая распределения частот попадания значений