§15. Дифференциал функции.

Пусть функция определена в некотором промежуткеи в некоторой внутренней точкеимеет конечную производную. Тогда, где-приращение аргументав данной точке, а-соответствующее ему приращение функции. Можем записать:(1).

где -б.м.в, зависящая от,при. Оба слагаемых в правой части (1) являются величинами б.м., онипри. Первое слагаемоеявляется б.м. одного порядка малости с, т.к.- определённое число (полагаем). Второе слагаемое – есть величина б.м. высшего порядка малости по сравнению с, т.к.,. Таким образом, приращение функции можно записать . Последняя запись отчётливо показывает, что величина приращения функциив основном зависит от первого слагаемого, оно, как бы, содержит в себе главную часть приращения функции, второе же содержит незначительную часть приращения функции. Поэтому. Ввиду особой роли произведения, для него введено специальное название – дифференциала функции и символическое обозначение.

Определение:Дифференциалом функциив некоторой точкеназывают произведение производной функции в этой точке на приращение аргумента. Если вычисляютв произвольной точке, то обозначают. Тогда-есть переменная величина от.

Замечание: Выделение дифференциала как главной части приращения функции вызвано ещё и тем, что дифференциал к тому же есть и линейная часть приращения функции отоносительно(т.е. содержитв первой степени), что очень удобнов приближённых вычислениях.При малыхилиили(2).

Например:вычислитьПользуемся формулой (2), считая. Тогда. Градусную меру переведём в радианную,. Имеем

,

Мы говорим о дифференциале функции . Выясним вопрос о дифференциале независимой переменной. Рассмотрим функцию. В этом случае дифференциал функции будет одновременно и дифференциалом независимой переменной. Но

и пэтому .Таким образом:

Дифференциалом независимой переменной можно считать её приращение: .

Поэтому для дифференциала функции применяется обычно запись: или (3)

Из (3) следует, что , т.е. производную функции можно рассматривать как частное от деления дифференциала функции на дифференциал аргумента, а не просто как единый символ производной, как считалось до сих пор.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции.

Пусть задана функция . Начертим её график.

Y

M

y0+Δy

K

Δy

M0

dy

α

N

y₀

ΔΔx

Т



x

x

x=0

На нём возьмём точку . Через точкупроведём касательную. Как мы видим, её угловой коэффициент. Если абсциссев точкедать приращение, то функцияв точкеполучит приращение. Отметим на графике точку. Проведём секущуюи рассмотрим.Видим, что,,.

Вывод: в то время как-есть приращение ординаты точки на кривой,-есть приращение ординаты точки на касательной к этой кривой в точке. Из чертежа наглядно видно – чем меньше, тем меньше отрезок, т.е. при малых, что уже отмечалось выше.

§16. Дифференциал основных элементарных функций, суммы, произведения и частного.

Способ нахождения дифференциала сразу следует из определения: Чтобы найти дифференциал функции, достаточно вычислить производную этой функции и умножить её на дифференциал независимого переменного.

В связи с этим все формулы для производных легко преобразуются в формулы для дифференциала.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Легко для случая дифференциала доказываются и некоторые общие правила:

;

;

;

.

Доказательство всех аналогично.

Например(4):

(Остальные самостоятельно.)