§2. Применение производной к нахождению пределов функций. Правило Лопиталя.

При нахождении пределов функции мы широко пользовались теоремами о пределах суммы, разности, произведения, частного и возможностью предельного перехода под знаком непрерывной функции.

Однако, когда под знаком предела оказывалось выражение, представляющее неопределенность вида 0/0, ,,и т.п. теоремы о пределах уже были неприменимы и приходилось в каждом отдельном случае по-своему раскрывать эти неопределенности. Понятие производной дает очень удобное правило раскрытия неопределенностей, называемое правилом Лопиталя. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема Лопиталя.

Пусть функции (х) и(х) при( или) одновременно стремятся к нулю или бесконечности. Если отношение их производных имеет предел, то отношение самих функций также имеет предел, равный пределу отношения производных, т.е.

limх_х₀ (х)= limх_х₀ ¹(х)(1)

φ(x) φ¹(х)

Общее доказательство теоремы очень громоздко (опирается на теорему Коши).

Приведём лишь доказательство одного простого случая и рассмотрим часто встречающиеся случаи применения теоремы.

Докажем, что если иопределены и непрерывны в окрестности,приони стремятся к нулю и их производные в точкесуществуют, причём, то(2).

Доказательство:Т.к.(следует из условия теоремы), то. Переходя к пределу прии используя теорему о пределе дроби, получим:следует (2).

Примеры:1). limх_0sin 5х= lim х_0(sin 5х)¹=5cos0=5

2х (2х)¹2 2

2). Lim х_0е^х – cos х =limx0е^х + sinх =1 = 1

х 1 1

Возможно, что предел отношения производных равен ,

тогда и предел отношения функции тоже равен .

Может оказаться, что предел отношения производных снова есть неопределенность 0/0. Тогда применяем правило Лопиталя еще раз.

Замечание 1. Формула (1) написана при, но она верна и при,,.

Положим , тогда при,, можем применить формулу (1):, т.е(1*).

Аналогично при ,.

Пример 6:

Замечание 2:Как видим при раскрытии неопределенностей правило Лопиталя приходится иногда применять несколько раз подряд, если после каждого снова получается неопределенность.

Если неопределенности нет, то правило применять нельзя, возможна ошибка.

Пример: lim х_0 2х³ + 3х + 1, сразу видно, что lim равен -1

х²+ 4х – 1

по правилу Лопиталя нашли бы - Ошибка!

Замечание 3. Теорема Лопиталя дает лишь достаточное условие существование предела отношения функций. Если предел отношения производных не существует, то это еще не значит, что и предел отношения функций тоже не существует, просто, нужно раскрывать не по правилу Лопиталя, а другим способом.

Пример: lim х_х+ sin х= lim х_1 + cos х= lim х_( 1+ cos х) – не

х 1

существует.

Однако, легко иначе

lim х_х+ sin х= lim х_( 1 +sin х)= 1 + 0 = 1

х х

Правило Лопиталя применимо к раскрытию неопределенностей вида и. Легко показать, что все остальные к ним сводятся.

Покажем это.

0 · : Имеем(х) ·(х), причем при,,. Тогда поступают так

, т.е. приходим от килии применяется правило Лопиталя.

: Имеем , причем, при,,. Тогда поступим так:

получаем неопределенность и можем применить правило Лопиталя.

Пример:

Кроме четырех неопределенностей ,,,, имеются и три неопределенных выражения, получающихся из степенно-показательной функции:

Это ,и

0⁰– это неопределенное выражение вида [(х)]^φ(x)при хх₀

если _,и. Соответственно понимаются и остальные два. Эти три неопределенности легко сводятся логарифмированием к неопределенности вида 0·, которая уже раскрывается по правилу Лопиталя.

Пример: ,,.

Итак, или, т.е.

В заключение покажем, что показательная функция а^храстет быстрее, а логарифм loq_aх медленнее, чем степенная, при.