IV. Свойства дифференцируемых функций и некоторые приложения производных.

§1. Теоремы о средних значениях функции.

Теоремами о средних значениях функции называется группа теорем, которая связывает значения функции на концах сегмента со значениями ее производной в промежуточных точках. Эти теоремы играют основную роль во многих теоретических и практических приложениях дифференциального исчисления.

Теорема Ферма (вспомогательная).

Если функция у=(х) определена в некотором интервале(a,b)и в какой-либо внутренней точке С этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение, то производная функции в точке С равна 0, если она существует.

Доказательство: Пусть для определенности(с)- есть наибольшее значение функции(х) на(a,b).

Тогда и для любого _х>0 и для любого_х<0

(с + _х)(с) или(с +_х)-(с)0 (1)

Но тогда (с + _х)- (с) 0 при_х>0 (1¹)

_х

и (с + _х)- (с) 0 при_х<0 (1¹¹)

_х

т.к. по условию теоремы ¹(с) должна существовать, то переходя к пределу в (1¹) и (1¹¹) при_х0, получим

lim_х_0(с + _х)- (с) =¹(с)0 при_х>0

_х

и lim_х_0(с + _х)- (с) =¹(с)0 при_х<0, т.е.¹(с)0

_х и ¹(с)0

Но эти соотношения выполняются одновременно только при . ч. и т.д.

Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл.

Так как производная означает угловой коэффициент касательной к графику, то в точке наибольшего или наименьшего значения функции он равен 0, т.е. касательная параллельна оси ОХ или совпадает с ней.

y

0 a c b x

Теорема Ролля.Если функция:

1). Непрерывна на [a,b];

2). Дифференцируема во всех внутренних точках, т.е. существует у=¹(х) на (а,в);

3). Значения функции на концах сигмента равны (а)=(в), то между точками а и в найдется хоть одна т.c(а<c<b), в которой производная обращается в нуль:’(с)=0.

Доказательство: По условию функция у=(х) непрерывна на[a,b], а поэтому принимает на нем наибольшее и наименьшее значения М иm. Возможны два случая:

1). М = m. Тогда функция у= (х) сохраняет постоянное значение на[a,b], (х)=М=const, значит¹(х)=0, точкойcявляется любая точка (а,в).

2). М > m, значения М и mне могут приниматься функцией одновременно на концах, ибо(а)=(в). Значит, наибольшее М или наименьшее m значения принимаются в некоторой внутренней т.c, а<c<b. Но по теореме Ферма тогда¹(с)=0.

Геометрическитеорема Ролля означает следующее:

Если непрерывная кривая изображает график дифференцируемой функции, то между двумя ее точками с одинаковыми ординатами всегда существует т.c, в которой касательная параллельна оси ОХ. Таких точек может быть и несколько. Особенно важный случай теоремы, когда(а)=(в)=0. Тогда заключение теоремы звучит так: между двумя корнями функции(х) лежит хоть один корень производной. Корнем функции называют точку, где функция обращается в нуль.

Замечание: Требование существования производной во всех внутренних точках [a,b]существенно. Все условия выполнены, кроме существования производной длянаи заключение теоремы не выполнимо / в т.0 производной не существует /.

1

Теорема Лагранжа. Если функция у=(х):

1). Непрерывна на [a,b];

2). Дифференцируема во всех внутренних точках, т.е. существует у=¹(х) на (а,в), то между точками а и в найдется хоть одна т.c (а<c<b), такая, что для нее выполнимо равенство:

(в)-(а)=¹(с) (1)

в-а

Доказательство: рассмотрим на [a,b] вспомогательную функцию F (х)=(х)-(а)-(в)-(а) ·(х-а) или F (х)=(х)-(а) - Q(х-а)

в-а

Q

Эта функция на [a,b] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, т.к. 1).она непрерывна, как сумма непрерывных; 2). Дифференцируема на (а;в): F¹(х)=¹(х)- Q;

3). Значения на концах равны F (а)= F (в)=0. Действительно F (а)= (а)-(а)- Q(а-а)=0;

F (в)= (в)-(а)- (в)-(а)·(в-а)=0

в-а

Но тогда для функции F (х) справедливо и заключение: F ¹(с)=0 или¹(с)- Q=0 или¹(с)=(в)-(а), т.е. (1)

в-а

Формулу (1) часто называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Записывают часто в виде

(в)-(а)=¹(с) (в-а), а<c<b

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Изобразим на чертеже график функции у=(х), удовлетворяющий на[a,b] всем условиям теоремы Лагранжа. Точки А и В соответствуют значениям функции у=(х ) на концах сегмента(а) и(в). Соединим т.А и т.В хордой АВ и проведем АС параллельно оси ОХ, угол ВСА=, tgα- угловой коэффициент хорды АВ.

Но tgα=ВС=(в)-(а), т.е. слева в (1) стоит угловой

АС в-а

коэффициент хорды АВ; но ¹(с)-

угловой коэффициент касательной к кривой у=(х) в точке с абсциссой с. Т.к. эти угловые коэффициенты равны, то касательная в т.М с абсциссой С параллельна хорде АВ.

Итак, геометрически утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на графике функции , удовлетворяющей условиям 1 и2 теоремы Лагранжа, найдется хоть одна точка М, касательная в которой параллельна хорде АВ, соединяющей концы графика.

Замечание: теорема Ролля- частный случай теоремы Лагранжа, достаточно потребовать(а)=(в) и хорда АВ будет параллельна оси ОХ.

Часто применяется другой вид записи формулы Лагранжа:

т.к. а<c<b, то 0<c-a<b-a, но тогдас-а=Θ

в-а

причем 0< Θ<1 или с-а= Θ (в-а).

Тогда с=а+ Θ (в-а), получим

(в)- (а)= (в-а)¹[ а+ Θ (в-а)], 0< Θ<1 (2)- приращение функции на сегменте равно произведению производной в некоторой промежуточной точке на приращение независимой переменной.

y

A

Обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Теорема Коши: если функции (х) и q(х) удовлетворяют условиям:

1). (х) и q(х) непрерывны на [а,в];

2). (х) и q(х) дифференцируемы во всех внутренних точках [а,в], т.е. существуют¹(х) и q¹(х) на (а,в);

3). Производная q¹(х)0, то

между а и в найдется хоть одна т.c(а<c<b) такая, что для нее выполнимо равенство

(в)- (а) =¹(с)

q (в)- q (а) q¹(c) (3) - формула Коши

Доказательство: Заметим, что q (в)- q (а) 0, т.к. иначе было бы q(в)= q (а) и функция q(х) на [а,в] удовлетворила бы условиям теоремы Ролля, а значит в некоторой т. а<c<bq’(с)=0, чего по условию нет. Значит обе части (3) имеют смысл.

Докажем равенство (3).

Рассмотрим вспомогательную функцию

F (х)= (х)-(а)- Q [q (х)-q(а)], где

Q= (в)- (а). На [а,в] F (х) удовлетворяет всем 3-ем условиям

q(в)- q(а)

теоремы Ролля:

1) F (х) непрерывна как алгебраическая сумма непрерывных;

2) F ¹(х)=¹(х)- Q q¹(х) существует на (а,в), т.к. существует¹(х) и q¹(х);

3) F (а)= F (в)=0

Но тогда справедливо и заключение теоремы Ролля, т.е. существует точка а<c<b, что F¹(с)=0 отсюда¹(с)=(в)- (а)· q¹(с)

q(в)- q(а)

Замечание 1. Теорема Лагранжа получается как частный случай из теоремы Коши при q (х)=х.

Замечание 2. Нельзя доказать теорему Коши простым применением формул Лагранжа к числителю и знаменателю выражения

(в)- (а) =¹(с₁)(в-а)=¹(с₁)

q(в)- q(а) q ¹(с₂)(в-а) q ¹(с₂)

точки c₁и c₂не совпадают и их общее значение c ниоткуда не следует при этом доказательстве.