III. Дифференциальное исчисление

В 17-18 веке в математике появились два мощнейших метода исследования свойств функции:

Дифференциальное и интегральное исчисления, основоположниками которых являются английский ученый Ньютон и немецкий ученый Лейбниц.

Основным понятием дифференциального исчисления является понятие производной функции. К этому понятию привели некоторые задачи практики из различных областей знаний. Рассмотрим некоторые из них.

§1. Задачи, приводящие к понятию производной функции.

а) Задача о скорости неравномерного прямолинейного движения (физическая)

Рис.1

Пусть материальная точка движется по прямой, начиная от т.0, неравномерно. За время t она пройдет некоторый путь S, т.е. S= (t) - уравнение движения. Величина пройденного пути меняется в зависимости от времени. Какова скорость этого изменения?

Так как движение неравномерное, то обычное понимание скорости здесь неприемлемо. Здесь характеристикой движения является мгновенная скорость, скорость в данной точке.

Рассуждаем следующим образом: пусть в некоторый момент времени t₀, тело прошло уже путь S₀=(t₀) и находилось в точке М₀, а в некоторый другой момент времени оно прошло путь S =S₀+ _S и находиться в точке М. За промежуток времени_t точка прошла путь_S = S -S₀=(t) -(t₀)=( t₀ +_t)-(t₀) .

Если составить отношение _S/_t, то оно даст среднюю скорость движения точки за время_t

V_ср= _S/_t = (( t₀ + _t)- (t₀))/ _t; (1)

Средняя скорость не может отразить всех колебаний в быстроте движения, она сглаживает их.

Чтобы узнать действительную скорость движения в некоторый момент t поточнее, нужно взять меньший промежуток времени _t.

Предел отношения _S/_t при_t0 и называетсяскоростью движения в данный момент времени t_0.

V=lim_t0(_S/_t)= lim_t0 ((( t₀ +_t)-(t₀))/_t); (2)

Таким образом, для нахождения скорости точки в данный момент времени нужно уметь находить предел вида (2).

б) Задача о касательной к кривой (геометрическая).

М

Т

L

М₀Рис.2

Дадим, прежде всего, само определение касательной к кривой в некоторой точке. Пусть дана кривая L и точка М₀на ней. Возьмем на L другую точку М и проведем секущую М₀М. При изменении положения точки М на кривой L, положение секущей будет тоже меняться. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М₀с любой стороны секущая М₀М стремиться занять положение некоторой определенной прямой М₀Т, то эта прямая М₀Т и называется касательной к кривой L в точке М₀.

T

Y

М₀(x₀,y₀)

y₀

y

y

Р

x₀

M(x,y)

x



α

x

Рис.3

Введя это определение, рассмотрим задачу о проведении касательной к данной кривой L, являющейся графиком непрерывной функции в обычной прямоугольной системе координат: .

Допустим, что кривая L в точке М (x₀,y₀) имеет касательную М₀Т, которая составляет с положительным направлением оси ОХ угол/2.

Задача проведения касательной окажется решенной, если суметь найти угол или все равно угловой коэффициент касательной М₀Т: К₀= =t_g.

Для решения задачи поступаем следующим образом:

на L возьмем произвольную точку М, близкую к точке М₀.

Координаты т.М (х,у)= М (х₀ +_х, у₀+_у), здесь_х – приращение аргумента x в x₀,_у – соответствует приращение функции.

Проведем секущую М₀М, она образует с положительным направлением оси ОХ угол φ, ее угловой коэффициент к= t_gφ. Из прямоугольного треугольника ММ₀Р имеем

к= t_gφ =_у/_х, но так как у=(х),

_у=(х)-(х₀) =(х₀+_х)-(х₀).

Поэтому, к= ((х₀+_х)-(х₀))/_х. Если устремить_х к нулю, то по определению непрерывной функциитоже, а значит, точка М приближается к точке М₀. Но тогда секущая приближается к положению касательной и угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной К₀.

Таким образом, ; (3)

Снова пришли к необходимости вычислять пределы вида (3). Так как многие задачи приводят к пределам вида (2) и (3), то их и стали рассматривать в общем, виде.