§9 Частные производные высших порядков.

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой области D и имеет в ней частные производные и(1). Эти производные сами являются функциями от x,y. Поэтому они могут в некоторых точках области или во всех в свою очередь иметь частные производные, которые для исходной функции называютсявторыми частными производными или частными производными второго порядка. Частные производные (1) называются частными производными первого порядка.

Частных производных второго порядка для функции двух переменных имеется 4:

;

Каждая из вторых частных производных тоже является функцией и можно рассматривать их частные производные (их будет уже восемь), они называются - частные производные третьего порядка:

, и т.д.

Аналогично можно определять частные производные четвертого, пятого и т.д. порядков.

Частные производные высших порядков, взятых по разным аргументам, называются смешанными частными производными.

Пример: ,,,,,,,,....

Из примера можно заметить, что смешанные производные по одним и те же аргументам оказались равны, хотя они взяты в разном порядке. Для данной функции это так, но для других это может и не выполнятся. Условие независимости смешанных производных от порядка дифференцирования дает:

Теорема (о равенстве смешанных производных). (без доказательства) Если функция z = f(x,y) и ее частные производные ,,исуществуют и непрерывны в точке M (x,y) и некоторой ее окрестности, то в этой точкеили=

Из теоремы, очевидно, что если непрерывны частные производные любого n-ого порядка, то они равны и поэтому порядок дифференцирования не важен. Можно писать или. Теорема верна и для функций большего числа переменных, смешанные частные производные равны, если они непрерывны. Поэтому и там пишут их в виде(k₁+k₂+k₃=n) и w = f(x,y,z)

190