§7 Производная от функции, заданной неявно.

Сначала рассмотрим неявную функцию одного переменного. Она определяется уравнением (1), которое каждому х из некоторой области Х сопоставляет определённое у. Тогда на Х определяется этим уравнением функция у=f(х). Её называют неявной или неявно заданной. Если уравнение (1) удаётся разрешить относительно у, т.е. получить вид у=f(х), то задание неявной функции становится явным. Однако разрешить уравнение удается не всегда и в этом случае не всегда ясно – существует ли вообще неявная функция у=f(х), определяемая уравнением (1) в некоторой окрестности точки ( x₀, y₀ ).

Например, уравнение неразрешимо относительноy и неясно - определяет ли оно неявную функцию в некоторой окрестности точки (1,0), например. Заметим, что существуют уравнения, не определяющие никакой функции (x²+y²+1=0).

Оказывается справедливой следующая теорема:

Теорема«Существования и дифференцируемости неявной функции» (без доказательства)

Пусть дано уравнение (1) и функция, удовлетворяет условиям:

1. Сама функция и ее частные производныеинепрерывны в некоторой окрестности точки М₀ (х₀,у₀);

2. ;

3. .

Тогда:

1. уравнение (1) при значении х близких к х₀ определяет однозначную неявную функцию у=f(х);

2. ;

3. эта функция непрерывна в окрестности точки х₀;

4. она имеет непрерывную производную в этой окрестности, вычисляющуюся по формуле:

. (2)

Геометрически теорема утверждает, что в окрестности точки , где выполняемы условия теоремы, неявная функция, определяемая уравнением (1), может быть задана в явном виде у=f(х), т.к. каждому значению х соответствует единственное у. Если даже мы не можем найти выражение функции в явном виде, мы уверены, что в некоторой окрестности точки М₀ это уже возможно в принципе.

Рассмотрим тот же пример: . Проверим условия:

1),- и функция и её производные непрерывны в окрестности точки (1,0) (как сумма и произведение непрерывных).

2) .

3) . Значит, неявная функция у=f(х) существует в окрестности точки (1,0). Мы не можем её выписать в явном виде, но можем все-таки найти её производную, которая будет даже непрерывной:

Рассмотрим теперь неявную функцию от нескольких переменных. Пусть задано уравнение

. (2)

Если каждой паре значений (х,у) из некоторой области уравнение (2) сопоставляет одно определённое значение z, то говорят, что это уравнение неявно определяет однозначную функцию от двух переменных .

Справедлива и соответствующая теорема существования и дифференцирования неявной функции нескольких переменных.

Теорема 2: Пусть дано уравнение (2) и функцияудовлетворяет условиям:

1. , ,,- существуют и непрерывны в некоторой окрестности точки;

2. ;

3. .

Тогда:

1. в некоторой окрестности точки М₀ уравнение (2) определяет z как однозначную функцию от х,у: ;

2. ;

3. функция непрерывна в этой окрестности;

4. неявная функция имеет непрерывные частные производные в этой окрестности, вычисляемые по формулам:.

Пример: . Это уравнение задаётz как двузначную неявную функцию от х и у . Если проверить условия теоремы в окрестности точки, например, (0,0,1), то видим выполнение всех условий:

1. - непрерывна, ,,- непрерывны также;

2. F(0,0,1)=1-1=0;

3. .

Значит, неявная однозначная функция существует в окрестности точки (0,0,1): Можно сказать сразу, что это , задающая верхнюю полусферу.

Существуют непрерывные частные производные Они, кстати, получаются такими же, если дифференцировать неявную функцию, выраженную в явном виде, непосредственно.

Определение и теорема существования и дифференцирования неявной функции большего числа аргументов аналогичны.