Комплексные числа.

§1. Определение комплексного числа. Алгебраические операции в множестве комплексных чисел.

Комплексным числом называют всякую упорядоченную пару (а, b) действительных чисел. Его обозначают z = (a, b). Действительные числа а и b называют соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа z:

a = Re z и b = Jm z

Пусть имеются два комплексных числа z₁ = (a₁, b₁) и z₂ = (a₂, b₂). Они называются равными тогда и только тогда, когда a₁ = a₂ и b₁ = b₂.

Суммой (разностью) двух комплексных чисел z₁ и z₂ называют комплексное число z = z₁  z₂, действительная часть которого есть a₁ + a₂ (a₁ – a₂), а мнимая b₁ + b₂ (b₁ – b₂): z = z₁  z₂ = (a₁  a₂, b₁  b₂).

Произведением чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z₁z₂ = (a₁a₂ – b₁b₂, a₂b₁ + a₁b₂).

Если z₂  0 (т.е. a₂  0, b₂  0) частным (отношением) двух комплексных чисел называют комплексное число:

Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел, они есть числа вида: z = (a, 0) = a. Комплексные числа вида z = (0, b) называют чисто мнимыми (или просто мнимыми). В множестве комплексных чисел мнимое число (0б 1) играет особо важную роль, его обозначают

i =(0, 1).

Найдем i² = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1, т.е. i² = -1. С помощью числа i комплексное число z = (a, b) может быть записано в таком виде:

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi. (2)

Это выражение (2) называют алгебраической формой комплексного числа z = (a, b). Число a – ib,

обозначаемое как , называют сопряжённым комплексному числу z. Очевидно т.е. произведение сопряжённых комплексных чисел есть неотрицательное действительное число. Очевидны следующие свойства сложения и умножения комплексных чисел:

1. Коммутативность: z₁ + z₂ = z₂ + z₁; z₁z₂ = z₂z₁;

2. Ассоциативность: z₁ + (z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃; z₁(z₂z₃) = (z₁z₂)z₃;

3. Дистрибутивность (умножения по отношению к сложению): (z₁ + z₂)z₃ = z₁z₃ + z₂z₃.

Заметим, что отношение комплексных чисел (1) можно получить (так это и делают на практике) умножением

на ₂ числителя и знаменателя:

Пример.

§2. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Имеется комплексное число z = a + ib. Ему на плоскости XOY соответствует точка M(a, b), которая и считается геометрическим изображением (интерпретацией) этого числа. В то же время положение точки М вполне определяется её полярными координатами, т.е. расстоянием  точки z = (a, b) от начала О и углом наклона радиус – вектора этой точки ОМ к положительному направлению оси ОХ (рис. 1).

Рис. 1

Соотношение между полярными и прямоугольными координатами известны: a =  cos , b =  sin . Поэтому всякое комплексное число z = a + ib (или z = x + iy) может быть записано в следующей форме:

z = a + ib = ( cos + i sin ), (3)

которую называют тригонометрической формой комплексного числа z. В выражении (3)  называется модулем

комплексного числа z и что очевидно:

Угол  называется аргументом комплексного числа z. Он может быть определён следующим образом:

если x>0,

если x<0,

если x=0.

где sgn y = 1, если y>0 и sgn y = -1, если y<0.

Пусть имеется два комплексных числа z₁ и z₂ представленных в тригонометрической форме

В ычислим их произведение:

Итак, z₁z₂ = т.е. произведение двух комплексных чисел есть комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. Подобным же образом можно показать, что

т .е. частное двух комплексных чисел есть число, модуль которого равен частному модулей этих чисел, а аргумент – разности их аргументов. Вычислим натуральную степень комплексного числа.

Пусть z = (cos  + i sin ).

Тогда

Итак, можем записать

Эту формулу называют формулой Муавра. Она показывает, что для возведения в степень n (в тригонометрической форме) нужно возвести в эту степень модуль и умножить на n аргумент.