§6.Полное исследование функции и построение ее графика

Обычно при построении графика функции у=f(х) используют метод построения по точкам, когда из области определения берут несколько значений аргумента х1,х2...х_n, вычисляют соответствующие значения функции у1,у2...у_n, строят точки (х1,у1), (х2,у2), …,( х_n, у_n) и соединяют их плавной кривой. В простых случаях полученная линия достаточно точно изображает настоящий график функции у=f(х). Но если функция f(х) им. особенности, разные возрастания и убывания, разрывы и т.п., то полученный чертеж может быть далек от истины.

Для построения точного графика нужно знать его особенности. Это позволяет сделать дифференциальное исчисление. Суть метода в том, что находят характерные опорные точки графика (а не случайные) и соединяют их с учетом особенностей его, а не просто плавной кривой линией.

Для исследования функции и построения графика нужно проделать следующую работу:

-определить область существования функции. Это сразу выявит т.е. значения аргумента, над которыми кривая графика проходит и над какими нет,

-исследовать ф-ию на периодичность, четность, нечетность Это позволит (если функция обладает этими св-ми) строить график лишь в части обл. сущ-ия, а в другой достроить его автоматически,

-исследовать ф-ию на непрерывность, определить ее точки разрыва,

-найти экстремумы функции и участки ее возрастания и убывания,

-определить точки перегиба функции, участки выпуклости и вогнутости графика,

-найти асимптоты графика,

-определить точки пересечения графика с осями координат,

-исследовать ф-ию около точек границы ее области сущ-ия,

-если ход графика в отдельных местах недостаточно ясен, взять несколько дополнительных точек.

Для удобства результаты заносят в таблицу вида

х
у
особенности

Полученные опорные точки из таблицы переносят на плоскость и соединяют с учетом всех особенностей функции. В некоторых случаях для удобства по осям берут разные масштабы.

Пример полного исследования функции и построение графика.

Построить график функции у=f(х)=.