§5.Асимптоты кривой (графика функции)

Если функция у=f(x) определена и ограничена на конечном промежутке, то график ее можно построить по нескольким точкам, соединяя их плавной кривой. Но если обл. определения функции бесконечно велика или функция не ограничена, судить о графике по нескольким точкам трудно, т.к. ветви графика уходят в бесконечность. На помощь в этом случае часто приходят асимптоты кривой графика.

Определение.

Прямая линия назыв асимптотой для кривой у=f(x), если расстояния от точки М, лежащей на кривой, до этой прямой стремиться к нулю при движении точки М вдоль какой-нибудь части кривой в бесконечность.

Заметим сразу, что кривая у=f(x) может приближаться к асимптоте как не пересекая ее, так и пересекая.

Различают два вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1. вертикальные-(парал оси оу). Из определения ас-от следует, что если lim_хх0+0f(х)= или lim_хх0-0f(х)=, то прямая х=х0 есть асимптота кривой у=f(x).

Действительно при хт.М, а расстояние т.М от прямой х=х0, d=x0.

Верно и обратное, если прямая х=х0 -вертикальная асимптота, то хоть один из односторонних пределов функции в т.х0 равен беск-ти (может и два).

Таким образом , кривая у=f(x) им. вертикальную асимптоту в точках, приближаясь к которым функция стремится к беск-ти. Это либо точки разрыва функции ,либо граничные точки обл. определения.

Пример.

У=, точка разрыва х=1 ,lim_х1-0=-,

lim_х1+0=, х=1 – вертикальная асимптота.

2.Горизонтальные асимптоты (перпен оси оу)

Если сущ-ет lim_х+f(х)=А конечный или lim_х-f(х)=В- конечный или одновременно, то прямая у=А или у=В или одновременно обе будут горизонтальными асимптотами для кривой у= f(х), т.к. lim_х+d= lim_х+ (f(х)-А)=А-А=0. Аналогично для другой

Пример.

У=(1,2)^х. lim_х- (1,2)^х =0. у=0, те ось ох есть горизонтальная асимптота.

Нужно проверять и при х и при х-, тк могут быть две горизонтальные и разные.

Как для у=arctg x, у=П/2, у=-П/2.

3.Наклонные асимптоты ( не параллельные оси оу).

Пусть кривая у= f(х) им. наклонную асимптоту У=кх+в. Возьмем на кривой произвольную точку М(х,у).

Из треугольника MNP видно, что d=МР*cos=(у-У)* cos.

=const, поэтому условие d0 равносильно условию у-У0,те lim_х(у-У) или lim_х(f(х)-кх-в)=0, (1).

Условие (1) явл. необходимым и достаточным для того, чтобы прямая у=кх+в была наклонной асимптотой для кривой у= f(х). Как найти к и в по функции у= f(х)?

Из (1) следует lim_х((f(х)-кх-в))/х=0 или lim_х(f(х)/х-к)=0, тк в/х0 при х стрем. к бесконечности.

Но тогда к= lim_хf(х)/х, (2). Из (1) следует, что в= lim_х(f(х)-кх), (3).

Зная к и в находим уравнение наклонной асимптоты у=кх+в.

Совершенно аналогично находится наклонная асимптота при х стрем к минус бесконечности, справедливы те же ф-лы (1)-(3) с заменой х на х-. Проверять нужно оба случая, т.к. возможны две разные асимптоты для двух бесконечных ветвей функции.

Замечание:

1)при к=0 , lim_хf(х)=в, те получаются горизонтальные асимптоты. Поэтому можно искать сразу наклонные асимптоты. Горизонтальные получаются при этом автоматически (если они есть), 2)при к= или в= наклонных асимптот нет.

Пример. f(х)=1/х+х. Найти асимптоты. Х=(-,0)+(0, ).

1)Вертикальные асимптоты могут быть лишь в т.х=0- она граничная и явл точкой разрыва lim_х0-0(1/х+х)= -, lim_х0+0(1/х+х)= . Значит х=0- вертикальная асимптота.

2)Наклонные асимптоты У=кх+в.

к= lim_хf(х)/х= lim_х(1/х²+1)=1, к=1,

в= lim_х(1/х+х-1х)=0, в=0,

у=х- наклонная асимптота.

При х- получим тоже к=1, в=0, т.е. ту же асимптоту у=х.