§3.Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Значение функции в точке max явл наибольшим лишь в некоторой окрестности этой точки и совсем не обязательно явл. наибольшим значением во всей области определения ф-ии. То же самое можно сказать и о минимуме. В этом случае их назыв часто локальными (местными) max и min в отличии от абсолютных, т.е. - наибольшее и наименьшее знач. во всей обл определения. Если функция f(x) задана на а,в и непрерывна на нем, то она достигает на нем в каких либо точках своего наибольшего и наименьшего значений. Как их найти? Если на а,в есть несколько max, то наиб. значение внутри (если оно достигается) совпадает с одним из них. В то же время наибольшее значение для всего а,в функция может достичь и на одном из концов.

Правило..

Нужно сравнить между собой все min и граничные значения f(а) и f(в). Наименьшее значение и будет наименьшим значением функции на а,в. Обычно поступают при нахождении наиб. и наим. значений проще:

1. Находят все критические точки внутри сегмента а,в, вычисляют значения функции в них ( не определяя есть ли в них экстремум), 2) вычисляют значение функции на концах f(а) и f(в), 3)сравнивают полученные значения между собой: наименьшее значение из этих значений и будет наименьшим значением функции, наибольшее- наибольшим на а,в.

Пример:

Наити наиб. и наименьшее значение функции у=на-1,2,

1.ищем критические точки на (-1,2).

У'==0, 2х+2х³-2х³=0, 2х=0, =0. Других нет.

f(0)=0,

2. f(-1)=1/2, f(2)=4/5.

3. f(0)=0, наименьшее значение, f(2)=4/5.- наибольшее на

-1,2.

Нужно заметить следующее. В прикладных задачах наиболее часто встречается случай , когда между а и в функция у=f(x) им. только одну критическую точку. В этом случае без сравнения с граничными значениями ясно, что если в т. max, то это и есть наибольшее значение функции на а,в, если это min, то это и есть наименьшее значение на а,в. Это важно в тех случаях, когда в выражение функции входят буквенные выражения и оказывается более просто исследовать на экстремум, чем сравнивать значения на концах.

Важно отметить, что все сказанное о нахождении наиб и наим значений применимо и к (а,в) и к бесконечному промежутку , только в этом случае не берут во внимание значения на концах.

§4.Напрвление вогнутости кривой и точки перегиба

Пусть функция у=f(x) им. в т.конечную производную. Тогда она им. в этой точке касательную, уравнение которой есть у-=f '()(х-) или у=f()+(х-).

В некоторой окрестности (- график функции может располагаться по разному: либо выше касательной, либо ниже , либо с обеих сторон.

Определение.

Говорят, что в т.М(,) кривая у=f(x) вогнута вниз или просто вогнута (вогнута вверх или выпукла), если для всех х из некоторой окрестности (- точки все точки кривой расположены выше касательной (ниже касательной).

Если в т.М кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то т.М назыв. точкой перегиба кривой.

y

M2

M3

M1

0 x2 x3 x1 x

В т.М1- кривая вогнута, М2-выпуклая, М3-перегиб.

В точке перегиба кривая меняет выпуклость на вогнутость или наоборот. Точка перегиба- пограничная между участками выпуклости и вогнутости кривой.

Определение точки перегиба остается в силе и в случае, когда касательная к кривой у=f(x) перпенд. оси ох, те в т.производнаяf '()=, и т.не явл. точкой возврата кривой. В отличии от случаев (указанных на чертеже),

y

x x

где т.и х точками перегиба не явл-ся.

Найдем условия, при которых им. место определенное направление вогнутости или перегиб кривой. у=f(x) в произвольной т.х=.

Пусть, например, кривая в т.М(,) выпуклая. Тогда она располагается в некоторой окрестности (- этой точки ниже касательной у=f()+f '()(х-). Рассмотрим вспомогательную ф-ию(х)= f(х)-f()-f '()(х-). В т.()=0, в-окрестности т.. Отсюда следует, что в точкефункцияимеетmax. Значит в точке ''(). Но ''()=f ''(х) и потому в т.f ''().

Таким образом, чтобы в т.х0 кривая у=f(x) была выпуклой необходимо, чтобы f ''(). Если же в т.х0 f ''(), то в т.-max и кривая, значит, выпуклая. Условие f ''() достаточное для выпуклости в т..

Рассуждая совершенно аналогично, получим , что условие f ''() необходимое для вогнутости в т.х0, а условие f ''() достаточное для вогнутости.

Вывод:

если в т.вторая производная положительнаf ''(), то кривая выгнута в этой точке, если в т.вторая производная отрицательнаf ''(), то кривая выпуклая в этой точке.

Удобно правило "чашечки":

В точках перегиба нет определенной вогнутости или выпуклости, а потому они могут быть лишь в точках, где f ''()=0. Но условиеf ''() еще не обеспечивает точно, что- точка перегиба. Например, для кривых у=х⁴ и у=-х⁴, в т.f ''()=0, однако в ней первая кривая вогнута, вторая выпукла.

Вывод: условие f ''()=0 явл. необходимым условием существования перегиба в т.. Но, как видели, т. перегиба могут быть и там, где вторая производнаяf''()= ил не существует вовсе.

Достаточным условием перегиба кривой в т.явл. смена знака второй производнойf ''() при переходе через т.. При этом , если 2-ая производная меняет при переходе через т.знак с + на - , то в т.перегиб со сменой вогнутости на выпуклость, Еслиf ''() меняет знак с - на + при переходе через т., то в т.перегиб со сменой выпуклости на вогнутость..

Определение. Если кривая вогнута (выпукла) в каждой точке некоторого промежутка, то она назыв. вогнутой (выпуклой) на этом промежутке.

Исследование функции у=f(x) на выпуклость, вогнутость, точки перегиба проводят по следующему плану:

1.Находят все точки подозрительные на перегиб, для чего:

а) находят второю производную, приравнивают ее к нулю и находят действительные корни полученного уравнения,

б)находят точки, где конечная производная f ''(x) не сущ-ет,

2.Исследуют f ''(х) на изменение знака при переходе через каждую подозрительную на перегиб точку. Если знак меняется- перегиб есть, если нет-то нет.

Для тех точек ,где f ''(х0)  кривая вогнута, где наоборот -выпукла. Так же как и в случае экстремумов, если точек подозрительных на перегиб конечное число, пользуются методом интервалов.

Определение.

Если кривая выпукла (вогнута) в каждой точке некоторого промежутка, она назыв. выпуклой (вогнутой) на этом промежутке.

Пример

Исследовать на вып., вогнутость, т. перегиба ф-ию у=х⁴-6х²+5. Обл. опред. Х=.

1.найдем у'=4х³-12х, у''=12х²-12=12(х²-1), у''=0, х²-1=0, х_1,2=-т. подозрительные на перегиб, других нет.

Вся обл. опред. разбивается на интервалы (--1),(-1,1),(1, , в каждой из них f ''(х) им. постоянный знак, т.к. непрерывна в них. Легко видеть, что в (--1) +, в (-1,1) -, и в (1,  +. Отсюда ясно, что в т. -1 и 1 перегиб, причем в (-1) график функции вогнутый, в (-1,1) выпуклый, в (1,  - вогнутый.