1.Исследование функций с помощью производных. Простроение графиков функций.

§1.Условия постоянства, возрастания и убывания функций

При изучении характера изменения функции и ее графика на первом месте стоит вопрос, при каких условиях функция сохраняет в данном промежутке постоянное значение или меняется монотонно? Для простоты промежуток будем считать сегментом. Напомним, что на функцию называют возрастающей (убывающей), если для любыхиз условияследует. Если всегда, тоназываетсяпостоянной на .называют неубывающей (невозрастающей) на ,если

Ответ на вопрос дают следующие теоремы.

Теорема 1.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на а,в, и на (а,в) имеет конечную производную f '(x).

Для того чтобы f(x) была постоянной на а,в, Н. и Д., чтобы f '(x)=0 на а,в.

Доказательство.

1. Достаточность

Пусть f '(x)=0 при x(а,в). Возьмем произв. а,х где ахв. На а,х функция f(x) удовлетворяет всем условиям т-мы Лагранжа. Тогда сущ. т.c аcх, что f(x)-f(а)=(х-а)*f '(с). Но f '(с)=0 отсюда f(x)=f(а)= const для любого х (а,в).

2.Необходимость

Пусть f(x)= С=const для любого х (а,в). Но тогда f '(x)=C '=0 на (а,в).

Теорема 2.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на а,в, и в (а,в) им. конечную произв f '(x). Для того чтобы функция f(x) была неубывающей (невозрастающей) на а,в, Н. и Д., чтобы для всех x(а,в) было f '(x) f '(x).

Д-во проведем для случая неубывающей функции (для невозрастающей сам-но).

1. Достаточность

Пусть f '(x) на а,в,те для люб. х(а,в).

Возьмем две произвольные точки иа,в при чем ав. На  функция удовл. всем условиям т-мы Лагранжа, поэтому СС, чтоf()-f()= f '( c )() отсюда f()f(), что и показывает неубывание f(х) на а,в.

2.Необходимость.

Пусть f(x) неубывает на а,в. Это значит , что для любых точек и+х (считаем х, принадлежащих а,в им место f(+х)-f() f(+х)-f())/х. Но тогда и lim_, те f '(), т.к. т.- любая из (а,в), то необходимость тоже доказана.

Теорема 3.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на а,в и им конечную производную f '(x) на (а,в).

Для того, чтобы функция у=f(x) была возрастающей (убывающей), достаточно выпол. условия f'(x) (f'(x)) для люб. х принад. (а,в).

Доказательство для возрастания аналогичное док-ву достаточности в Т-ме 2, только нестрогое неравенство везде следует заменить на строгое . (Для убывания аналогично).

Замечание. Из т-мы 3 следует, что строгое возрастание функции вытекает из f'(x).

Наоборот не всегда верно: даже для строго возрастающей функции производная может обращаться в ноль. Те f'(x) только.

Пример: у=х³ возрастает на , но в т. х=0 у'(0)=3х²=0. Касательная параллельна оси ох.

Вывод: касательная и к графику возрастающей функции может быть парал. оси ох.

Доказанные теоремы имеют простой геометрический смысл.

Т.к. f'(x) означает угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х то в случае f'(x) касат. к графику наклонена под острым углом к оси ох- кривая возрастает, в случае f'(x) касат. наклонена под тупым углом к ох- кривая убывает. Если f'(x)=0 , то в точке касат. параллельна оси ох.

Пример: Исследовать на монотонность ф-ю :- область определения.. Дляx<0 <0 – ф-я убывает, дляx>0 >0 – ф-я возрастает.