Некоторые геометрические и механические приложения определённого интеграла.

§1. Вычисление площади плоской фигуры.

Определённый интеграл позволяет вычислять площади самых различных плоских фигур.

1.В прямоугольной системе координат XOY. За основную фигуру здесь принимается криволинейная трапеция, так как её площадь выражается одним

определённым интегралом. B

а) мы видим, что еслина [a, b], то ;A

b) если непрерывна и на [a, b], то имеем также . 0

По абсолютной величине он равен площади соответствующей криволинейой

трапеции, т.е. - эта формула справедлива в B

обоих случаях а) и b). A

c) непрерывна и несколько раз пересекает ось OX. Этот случай сводится к двум рассмотренным и b). в этом случае даёт разность

площадей, лежащих выше и ниже осиOX. Чтобы найти

площадь заштрихованной фигуры, нужно учесть знаки:

или

d) На [a, b] определены две непрерывные функции и, причём.

0

,

Нужно заметить, что эта формула справедлива при любом расположении кривых и

, лишь бы .

Замечание 1. Если контур фигуры состоит из кусков, задаваемых

разными фигурами, то фигуру разбивают на части рассмотренного

вида прямыми, параллельными координатным осям. Тогда

(см. рис.).

Замечание 2. Все формулы и их обоснование верны и в том C

случае, когда имеем дело с криволинейными трапециями, основания

которых на осиOY, и они ограниченны кривыми, так, D

например: 0

Пример. Вычислить площадь параболического сегмента, ограниченного A 2 B

параболой и прямой.

Решение. Найдём координаты точек пересечения кривых A и B.

=> =>.0

Тогда:

2.Параметрическое задание линий контура фигуры.

Пусть криваяAB, ограничивающая криволинейную трапецию aABb, A B

задана в параметрической форме:,, причём

и . 0

Тогда на эти параметрические уравнения определяют некоторую функциюи по 1 пункту имеем:.

Сделаем замену переменной в этом интеграле: . Тогда, и мы получим:или

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом:

, . 0

Решение. В силу симметрии эллипса вычислим площадь одной четверти эллипса (в 1 - ой четверти) и умножим на 4, при этом t будет меняться от t = до 0().Поэтому:Тогда

3.Площадь фигуры в полярной системе координат. A

Если контур, ограничивающий фигуру, задан в полярной

системе координат, то в качестве основной фигуры берут

криволинейный сектор— фигуру, ограниченную двумя

полярными радиусамиии непрерывной кривой B

Найдём площадь этого сектора. 0

Разобьём на части точкамии проведём соответствующие этим углам полярные радиусы. Тогда весь сектор разобьётся на n элементарных секторов. Заменим каждый элементарный криволинейный сектор круговым с

радиусом где-- произвольная точка на. Площадь кругового сектора радиусас центральным угломравна. Поэтому площадь полученной ступенчатой фигуры изкруговых секторов будет равна:здесь.

Чем мельче дробление, тем ближе ступенчатая формула подходит к криволинейному сектору, потому за площадь криволинейного сектора естественно принять предел площади ступенчатой фигуры, когда :

, но этот предел есть неопределённый интеграл. Поэтому:

или

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним витком

спирали Архимедаи полярной осью.

Решение.

.

Замечание. В случае, указанном на рисунке:

.

0