3) Сходимость ряда Фурье.
Какими же качествами должна обладать функция,чтобы ее ряд Фурье сходился и имел своей суммой именно эту функцию? Мы рассмотрим (без доказательства) одно достаточное условие разложимости функции в ряде фурье. Сначала одно определение.
Определение:
функция f(x) называется кусочно-монотонной
на [a,b], если этот отрезок точками
можно разбить на конечное число интервалов
так, что функция будет монотонной
на каждом интервале (т.е.будет
либо возрастающей, либо убывающей).
Из определения следует , что функция кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке [a;b] может иметь на нем лишь конечное число разрывов и только первого рода. Если x=c точка разрыва функции f(x), то
Теорема:
Если
периодическая с периодом 2p
функция f(x) кусочно-монотонная и ограничена
на [-p;p],
то ее ряд Фурье сходится во всех точках
числовой прямой. Сумма этого ряда S(x)
равна значениюфункции
f(x) во всех точках непрерывности этой
функции и равна среднему арифметическому
пределов f(x) слева и справа в точках
разрывов f(x), т.е. если x=c точка разрыва
f(x), то
Эта теорема показывает, что класс функцийпредставленных рядами Фурье достаточно широк. Именно поэтому ряды Фурье находят широкие применения в различных областях математики. В частности они с успехом применяются в математической физике,в различных проблемах механики и т.п.
Пример:
Имеется
периодическая с периодом 2p
функция, определенная следующим образом
:
f(x)= 0 для -p£x<0
x для 0<x<p
Решение:
функция
кусочно-монотонная и ограничена на
[p;-p].
Поэтому она разлагается в ряд Фурье на
этом отрезке, а т.к. она периодическая,
то и на всей числовой прямой.
Вычислим коэффициенты Фурье по формулам (3)-(5)
пункта 2).
;
В результате получим:
Это равенство
выполняется везде кроме точек разрыва
функции f(x), т.е. x=±p+2kp.
вэтих точках
сумма полученного ряда S(±p+2pk)=
График
суммы S(x) ряда изображен на рисунке.
Замечание:
Полагая в
полученном разложении x=0, получим
откуда можно вычислить приближенные
значения числа p
с любой необходимой точностью.
4)Особенности ряда Фурье для четных и нечетных функций.
Сначала рассмотрим одно свойство четных и нечетных функций.
Теорема:
Если функция f(x) четная на [-a,a], то
Если функция f(x)
нечетная на [-a,a], то
Доказательство:
1) Пусть f(x) четная на [-a,a] т.е. для
тогда:
Пусть f(x) нечетная на [-a;a], т.е. f(-x)=-f(x) для "xÎ[-a;a]. Тогда, аналогично, получим
.
Это свойство четных и нечетных функций наглядно демонстрируется с использованием геометрического истолкования определенного интеграла.
f(x) - четная
.
f(x) - нечетная
.
Итак, пусть функция f(x) имеет ряд Фурье:
.
(1)
Как мы знаем:
,
,
.
(2)
Если функция f(x)нечетная, произведение f(x)coskx тоже нечетное, а f(x)sinkx - четная, поэтому формулы (2) дадут:
,
,
(3)
и (1) запишется в виде:
(4)
Заключение: Нечетная функция содержит в ряде Фурье только синусы.
Если функция f(x) -четная, произведение f(x)coskxтоже четное, а f(x)sinkx - нечетная, поэтому формулы (2) дадут:
,
,
(5)
и (1) запишется в виде:
(6)
Заключение: Четная функция содержит в ряде Фурье только косинусы.
Формулы (3)-(6) позволяют упростить вычисление коэффициентов Фурье для случая четных и нечетных функций (хотя, конечно, не всякая периодическая функция является четной или нечетной).
Пример: Разложить
в ряд Фурье периодическую с периодом
2p
функцию, заданную на [-p;p]
формулой
.
Решение:
Функцию
кусочно-монотонна и ограничена на
[-p;p], поэтому она разлагается в ряд Фурье. А так как она периодическая, то разложение справедливо на всей числовой прямой.
Т.к. функция четная, то можем воспользоваться формулами (5) и (6).
=(дважды
интегрируем по частям)=
.
Теперь имеем:
Т.к.
данная функция непрерывна везде, то
сумма ряда Фурье совпадает с f(x)тоже везде на
(-¥;+¥).
Замечание:
Обычную
(непериодическую) функцию
точно так же можно
разложить в тригонометрический ряд на
[-p;p],
но равенство
будет верно только в пределах этого
отрезка, за его пределами сумма ряда
.
Ряды Фурье для функций с периодом 2
.
Пусть f(x)
периодическая с периодом 2
функция, 2
,
вообще говоря, отлична от 2p.
Разложим ее в ряд Фурье. Сделаем замену
переменной
.
Тогда
и при x=-pt=
.
Очевидно, функция
будет периодичной функцией от t
с периодом 2p.
Предположим, что она разлагается в ряд
Фурье на сегменте -p£t£p
(а, значит, и на (-¥;+¥)):
,
(1)
где
,
,
(2)
Сделаем обратную
замену в формулах (2) и (1):
.
В результате получим:
,
,
.
(3)
(4)
Формула (4) с
коэффициентами (3) и есть разложение в
ряд Фурье функции с периодом 2
.
Замечание 1: Все,
что было сказано о рядах Фурье с периодом
2p
остается в силе и с периодом 2
(теорема об условиях разложимости
функции в ряд Фурье, возможность упростить
вычисления коэффициентов в случае
четной и нечетной функций и т.п.).
Замечание 2:
Отметим
(без доказательства) следующее свойство
функции j(x)
периодической с периодом 2
:
.
/Определенный
интеграл от периодической функции j(x)
по любому отрезку длиной с периодом 2
имеет одно и тоже значение/.
Геометрически справедливость этого факта очевидна, как показывает приводимый рисунок.
Иногда этот факт позволяет упростить тоже вычисление коэффициентов Фурье.
О разложении в ряд Фурье непериодических функций.
Пусть на [a;b]
дана кусочно-монотонная и ограниченная
функция f(x).
Покажем, что эта функция может быть
представлена в точках непрерывности
рядом Фурье. Для этого рассмотрим
произвольную периодическую
кусочно-монотонную и ограниченную
функцию F(x)
периода 2
³çb-açи
совпадает на [а;b]
с данной функцией f(x)
/мы периодически
продолжаем функцию f(x)/.
Разложим функцию F(x) в ряд Фурье, пользуясь формулами (3) и (4) предыдущего пункта. Сумма этого ряда совпадает везде на [a;b] (кроме точек разрыва) с данной функцией f(x), т.е. мы получим разложение f(x) в ряд Фурье на [a;b].
Рассмотрим важный
частный случай. Пусть функция задана
на отрезке [0;
].
Продолжим ее произвольным образом на
[-
;0]
(следим только за тем, чтобы получающаясяфункция F(x)
на [-
;
]удовлетворяла
условиям разложимости в ряд Фурье).
Разлогая F(x),
мы получим разложение на [0;
]
и данной функции.
Среди множества
различных продолжений функции f(x)
на [-
;0]
особенно важным являются продолжения
четным и нечетным образом,
т.е. получающаяся функция F(x)на[-
;
]
будет четной или нечетной.
В первом случае
полученный ряд будет содержать только
косинусы - функция
f(x)
на [0;
]
разложена по косинусам.
Во втором случае ряд будет содержать
только синусы - функция
f(x)
на [0;
]
разложена по синусам.
Эти два продолжения
удобны тем, что интегралы для вычисления
коэффициентов Фурье берутся только по
[0;
],
где F(x0=f(x).
Тем самым разложение некоторых функций
на [0;
]
в ряд Фурье только
по косинусам
или только
по синусам
сводится к использованию соответствующих
формул для разложения четных или нечетных
функций.
Пример: Разложить
функцию f(x)=x
на [0;
]в ряд Фурье:
только по косинусам;
только по синусам;
Решение:
Продолжение функции f(x)на [-
;0]
должна быть четным (см. рис.).
Поэтому ряд будет
иметь вид:
,
где
,
,
.
Имеем:
.
Итак:
Продолжение функции f(x)на [-
;0]
должна быть нечетным (см. рис.).
Поэтому ряд будет
иметь вид:
,
где
равны нулю, а
.
Итак:
