3) Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Биноминальным дифференциалом называется выражение вида x^m(a + bxⁿ)^pdx, где a, b – дествительные числа; m, n, p – рациональные.

В 1853 году П. Л. Чебышевым (знаменитым русским математиком) была установлена теорема о том, что интеграл вида x^m(a + bxⁿ)^pdx берётся в конечном виде лишь в следующих трёх случаях: a) когда p – целое число,

б) когда – целое число,

с) когда – целое число.

Во всех остальных случаях этот интеграл в конечном виде не берётся. Доказательство теоремы сложное, использует сложный аналитический аппарат, поэтому его не приводим. Покажем только, как же вычислить интеграл в тех трёх случаях, когда он берётся в конечном виде.

а) p – целое число (положительное, отрицательное или 0).

Обозначим черезλ – общий знаменаталь чисел m и n. Тогда подинтегральное выражение x^m(a + bxⁿ)^p = R(^λ√x) и потому рационализирующей подстановкой будет

Тогдаx = t ^λ, dx = λt ^{λ –1}dt. _ x^m(a + bxⁿ)^pdx = _ t ^λm(a + bx^λn) λt ^{λ –1}dt.

Пример. – интеграл от

рациональной функции по t. (m = – 2, n = 1/3, p = – 2 – целое, λ = 3)

t = ³√x, x = t³, dx = 3t²dt, x ^-2 = t ^-6, 2 + x^1/3 = 2 + t. /закончить самостоятельно/.

б) –целое (p – дробное: p = r/s). Рационализирующей подстановкой

является в этом случае .

Тогда a + bxⁿ = t^s,

Получим x^m(a + bxⁿ)^pdx =

т. к. – целое число, то –1 – тоже целое. Пришли к случаю а), а

потому выражение действительно рационализируется.

Пример.

(m = 1/3, n = 2/3, p = 1/3, s = 3, – целое)

c) – целое (p = r/s, – тоже дробное)

Рационализируещей подстановкой является

Тогда b + ax^–n = t^s.

Подставляя x и dx в подинтегральное выражение, снова убедимся, что приходим к случаю a), а потому действительно подинтегральное выражение рационализируется.

Пример. ; (m = – 2; n = 3; p = – ⁵_/3 – дробь;

s = 3;

x^–3 = t³ – 1, x = (t³ – 1)^–1/3,

4) Интегрирование выражений вида r (X, ). Подстановки Эйлера.

Выражение r (X, ), оно является рациональной функцией отx и

a, b, c – действительные числа, называют иногда функцией с квадратичной иррациональностью. Оказывается, всякий неопределённый интеграл вида

может быть вычеслен в конечном виде. Будем в дальнейшем

предпологать, что квадратный трёхчлен ax² + bx + c не имеет равных действительных корней, так как в этом случае подинтегральное выражение сразу есть рациональная функция (т. к. корень заменяется рациональным выражением). Изучим три подстановки Эйлера, с помощью которых всегда можно рационализировать подинтегральное

выражение, т. е. (1) свести к интегралу от рациональной функции.

I) Первая подстановка Эйлера применяется, если a > 0. Тогда полагают

(можно и ).

Возведём это равенство в квадрат: ax² + bx + c

• рациональное выражение от t.

Но тогда и dx будет рационально выражаться через t (самим найти dx).

Т. к. x, , dx рационально выражается через t, то интеграл (1) действительно сводится к интегралу от рациональной функции по t. Интегрируя и

заменяя в результате t через x , вычисляем интеграл.

Пример. a = 1 > 0. D = b² – 4ac = 1 – 4 = – 3 < 0

– действительных корней нет.

Итак – интегрируем как рациональною дробь и в результате

заменяем (самостоятельно).

II) Вторая подстановка Эйлера применяется, если c > 0. Тогда полагают

(можно было бы )

Возводя равенство в квадрат, уничтожая с в обеих частях, сокращая на x, получим уравнение первой степени относительно x. Из чего найдём x, как рациональную функцию от t. Тогда и dx есть рациональная функция от t, а потому и исходный интеграл I рационализируется.

Практически случай II легко сводится к случаю I, если a < 0, c > 0. Достаточно использовать замену переменной x = 1/z. Тогда в новом подинтегральном выражении c станет играть роль а, и можно применить I подстановку Эйлера.

Таким образом, пользование второй подстановкой Эйлера всегда можно избежать, хотя она бывает и удобна.

Пример. Вычислить с помощью второй подстановки

Эйлера (самостоятельно)

III) Третья подстановка Эйлера применяется в тех случаях, когда квадратный трёхчлен ax² + bx + c имеет различные вещественные корни:α и β.

Тогда он разлагается в произведение ax² + bx + c = а(x – α)(x – β).

В этом случае применяется подстановка ,

можно и

Возведём в квадрат a² + bx + c = t²(x – α)²  a(x – α)(x – β) = t²(x – α)²  ax – βa = xt² – αt².

• рациональная функция.

Т. к. x рациональная функция, то и dx тоже рациональная функция от t. Но тогда интеграл (1) действительно преобразуется в интеграл от рациональной функции по переменнойt.

Вычисляя этот интеграл и заменяя в результате t через x,

вычислим интеграл I в конечном виде.

Пример. 1 и 2 подстановки не применимы

– 3 + 4x – x² = – 1(x – 3)(x – 1)

Теперь имеем:

Замечание.Можно показать, что I) и III) подстановки Эйлера одних достаточно, чтобы рационализировать подинтегральное выражение I в любых случаях. В самом деле, если ax² + bx + c имеет вещественные корни, то применима вторая подстановка. Если действительных корней нет, то D = b² – 4ac < 0. Преобразуем трёхчлен так:

ax² + bx + c

Видно, что знак трёхчлена совпадает со знаком a.

Если a > 0, то применим I) подстановку.

Если жеa < 0, то ax² + bx + c < 0 и поэтому вообще не существует.

Таким образом, I и II подстановки Эйлера позволяют свести указанный интеграл в любом случае к интегралу от рациональной функции, а значит и вычислить его в конечном виде.

Теоритическая ценность подстановок Эйлера очевидна. Однако на практике пользование ими приводит к громоздким вычислениям. Поэтому стараются по возможности в более простых интегралах применять и другие методы.

Так, например, интегралы вида:

удобнее вычислять выделением полного квадрата и

последующей заменой переменной.

Пример.