1) Производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции:
(f(x)dx)` = (F(x) + C)` = f(x)
Дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению:
d(f(x)dx) = (f(x)dx)`dx = f(x)dx
2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
dF(x) = F(x) + C
В самом деле, т.к. dF(x) = F`(x)dx, то dF(x) = F`(x)dx = F(x) + C
/последнее равенство следует из того простого факта, что функция F(x) является первообразной для своей производной: [F(x)]` = F`(x)/
3) Неопределённый интегрл от алгебраической суммы нескольких интегрируемых функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от отдельных слагаемых.
[f1(x)f2(x)...fn(x)]dx = f1(x)dx...fn(x)dx (1)
4) Можно выносить постоянный множитель из под знака неопределённого интеграла, т. е., если k = const, то kf(x)dx = kf(x)dx (2)
Свойства 3 и 4 доказываются аналогично. Докажем, например, свойство 4, т. е. справедливость равенства (2) /свойство 3 т. е. равенство (1) доказать самостоятельно, можно для простоты взять n = 2/.
На основании свойства 1 имеем:
(kf(x)dx) = kf(x)
и (kf(x)dx) = k(f(x)dx) = kf(x).
Таким образом, производные от обеих частей равенства (2) совпадают, но тогда совпадают и семейства первообразных, т. е. написанные неопределённые интегралы в левой и правой частях равенства (2). Именно в этом смысле и нужно понимать равенство (2) / и, соответственно, (1)/.
Замечание. Мы отмечали уже, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, но одна и та же функция может иметь на разных промежутках разные первообразные. Например, функция f(x) = 1/x определена и непрерывна на ( - ,0) и (0,+ ).
На (0,+ ) первообразной для f(x) = 1/x будет очевидно F(x) = ln x , т. к. (ln x) = 1/x.
Следовательно для x (0,+ ) имеем (dx)/x = ln x + C. (3)
На ( - ,0) ln x не может быть первообразной для f(x) = 1/x, т. к. ln x там даже не существует. Однако, нетрудно заметить, что функция ln(-x) существует на
(- ,0) и будет там первообразной для f(x) = 1/x, т. к. (ln(-x)) = (1/(-x))(-1) = 1/x. Следовательно, для x ( - ,0) имеем (dx)/x = ln(-x) +C. (4)
Обычно пользуются формулой (dx)/x = ln |x| +C, (5)
которая справедлива для любых x 0 и, очевидно, объединяет формулы (3) и (4).
§2 Таблица основных неопределённых интегралов.
Таблица неопределённых интегралов от часто встречающихся элементарных функций может быть получена на основе определения 2(#1) и таблицы основных производных, которая была получена раньше. Доказательство всех формул / кроме номеров 7,8,11,13/ легко осуществляется на основе свойства 1 #1, согласно которому производная от правой части равенства должна равнятся подинтегральной функции.
1. ( - 1) /Здесь и во всех остальных формулах С означает произвольную постоянную/.
2. (dx)/x = ln |x| + C /Это верно согласно формуле (5) §1/.
3. sin x dx = - cos x + C. 10. (dx)/(a2+x2) = 1/a arctg x/a + C.
4. cos x dx = sin x + C. 10. (dx)/(1 + x2) = arctg x + C.
5. (dx)/(cos2 x) = tg x + C. 11. 11.
6
.
(dx)/(sin2
x)
= – ctg x + C.
12.
7
.tg
x dx = – ln |cos x| + C.
12'. .
8
.ctg
x dx = ln |sin x| +C.
13.
9. ax dx =(ax)/(ln a) + C.
9. ex dx = ex + C.
Проверим, например, формулу 9.
(ax/ln a + C) = (1/ln a ax)' + 0 = (1/ln a ax ln a) = ax – Получим подинтегральную функцию, что и доказывает верность формулы 9.
Самим проверить справедливость формул 1,3,4,5,6,9,9',10',12'.
Замечание. Формулы с абсолютной величиной 7,8,11,13,будут получены немного позже на основе общих результатов.
Вычисление неопределённых интегралов только с помощью таблиц основных интегралов и свойств 1 – 4(§1) называют прямым интегрированием.
Примеры 1) (3x2 + 4sin x – 3√x)dx = 3x2dx + 4sin x dx – 3√x dx =
= 3x2dx + 4sin x dx – 3x0,5dx = 3(x3/3) – 4cos x – 3(x1,5/1,5) + C =
= x3 – 4cos x – 3(x1,5/1,5) + C = x3 – 4cos x – 2x√x +C.
2) = 1/3 (2x + x-0,5 – 1/x) dx =
= 1/3[ 2x dx + x–0,5dx – (dx)/x] = 1/3[x2 + x0,5/0,5 – ln|x|] + C =
= 1/3 [x2 + 2√x – ln|x|] + C.