Интегральное исчесление функций одной переменной.

Неопределённый интеграл.

§1. Первообразная и неопределённый интеграл.

Как известно, основной задачей дифференциального исчесления является нахождение по известной функции F(x) её производной, т. е. функции f(x) = F`(x).

Основная задача, которую мы будем рассматривать теперь, обратная: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная от которой равна f(x), т. е. F`(x) = f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X , если для всех x X выполняется равенство F`(x) = f(x).

Примеры. 1) f(x) = sin x. Непосредственной проверкой согласно определению находим первообразную F(x) = - cos x на X = ( - , + ). В самом деле, F`(x) = (- cos x)` = sin x = f(x).

2) f(x) = x². F(x) = x³/3, т.к. F`(x) = (x<sup>3</sup>/3)` = x² = f(x) /x ( - , + )/

Легко заметить, что если функция f(x) имеет первообразную на X , то она не единственная. Так, в последнем примере первообразными для f(x) = x² на ( - ,+ ) будут и функции F(x) = x³/3 + 1, F(x) = x³/3 – 10 или более обшее выражение

F(x) = x³/3 + С /где С есть, так называемая, произвольная постоянная/. Действительно

(x³/3 + С)` = x².

Это не случайно. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) есть две первообразные для функции f(x) на одном и том же промежутке X , то они отличаются на постоянную.

Доказательство. По определению 1: F₁`(x) = f(x) для любого x  X

F₂`(x) = f(x)

Рассмотрим функцию (x) = F₁(x) – F₂(x).

Тогда для любого x  X `(x) = F<sub>1</sub>`(x) – F₂`(x) = f(x) – f(x) = 0. Значит, `(x)  0 на X, что и означает (x) = C = Const на X. Итак, F₁(x) – F₂(x) = С. Что и требовалось доказать.

Заключение. Если мы знаем какую-нибудь первообразную F(x) для функции f(x) на промежутке X, то все возможные первообразные для этой функции f(x) на этом промежутке X содержатся в выражении F(x) + C /где C – произвольная постоянная/.

Определение 2. Выражение F(x) + C, где F(x) некоторая первообразная для функции f(x), С – произвольная постоянная, называют неопределённым интегралом от функции f(x) и символически обозначают _f(x)dx.

Таким образом, согласно определению _f(x)dx = F(x) +C /если F`(x) = f(x)/

При этом f(x) называют подинтегральной функцией, x – переменной интегрирования, f(x)dx – подинтегральным выражением, знак ”_”- символ интегрирования. Функция f(x), для которой неопределённый интеграл на данном промежутке существует, называется интегрируемой на этом промежутке. Т. к. неопределённый интеграл представляет собой множество функций y = F(x) + C, то геометрически он может быть изображён как семейство кривых (интегральных кривых), параллельных кривой y = F(x) и смещённых вдоль оси Oy на С едениц.

(рис.1)

Следует заметить, что имеется много функций, которые не имеют первообразных (и, как следствие, не имеют неопределённого интеграла). Однако, с помощью понятияопределённого интеграла позже будет доказано, что всякая функция f(x) непрерывная на промежутке X имеет на этом промежутке первообразную /а, значит, она интегрируема на нём/

Из определения 2 следуют также свойства неопределённого интеграла.