
- •Неопределённый интеграл.
- •§1. Первообразная и неопределённый интеграл.
- •1) Производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции:
- •2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
- •3) Неопределённый интегрл от алгебраической суммы нескольких интегрируемых функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от отдельных слагаемых.
- •§2 Таблица основных неопределённых интегралов.
- •§3. Общие методы вычисления неопределённого интеграла.
- •Часто не удаётся вычислить неопределённый интеграл прямым интегрированием,
- •Интегрирование по частям.
- •Интегрируя почленно это равенство, получим
- •§4. Некоторые общие замечания об интегрировании функций.
- •§5. Интегрирование рациональных функций.
- •2. Разложение рациональной дроби в сумму рациональных дробей. Справедлива (доказательство опускаем) следующая
- •3 Метод Остроградского.
- •§6 Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •3) Интегрирование биноминальных дифференциалов.
- •4) Интегрирование выражений вида r (X, ). Подстановки Эйлера.
- •Выражение r (X, ), оно является рациональной функцией отx и
- •§7. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции.
- •2. Вычисление интегралов вида
- •3. Вычисление интегралов вида
- •4. Интегрирование выражений, содержащих показательную функцию еx.
Интегральное исчесление функций одной переменной.
Неопределённый интеграл.
§1. Первообразная и неопределённый интеграл.
Как известно, основной задачей дифференциального исчесления является нахождение по известной функции F(x) её производной, т. е. функции f(x) = F`(x).
Основная задача, которую мы будем рассматривать теперь, обратная: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная от которой равна f(x), т. е. F`(x) = f(x).
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X , если для всех x X выполняется равенство F`(x) = f(x).
Примеры. 1) f(x) = sin x. Непосредственной проверкой согласно определению находим первообразную F(x) = - cos x на X = ( - , + ). В самом деле, F`(x) = (- cos x)` = sin x = f(x).
2) f(x) = x2. F(x) = x3/3, т.к. F`(x) = (x3/3)` = x2 = f(x) /x ( - , + )/
Легко заметить, что если функция f(x) имеет первообразную на X , то она не единственная. Так, в последнем примере первообразными для f(x) = x2 на ( - ,+ ) будут и функции F(x) = x3/3 + 1, F(x) = x3/3 – 10 или более обшее выражение
F(x) = x3/3 + С /где С есть, так называемая, произвольная постоянная/. Действительно
(x3/3 + С)` = x2.
Это не случайно. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если F1(x) и F2(x) есть две первообразные для функции f(x) на одном и том же промежутке X , то они отличаются на постоянную.
Доказательство. По определению 1: F1`(x) = f(x) для любого x X
F2`(x) = f(x)
Рассмотрим функцию (x) = F1(x) – F2(x).
Тогда для любого x X `(x) = F1`(x) – F2`(x) = f(x) – f(x) = 0. Значит, `(x) 0 на X, что и означает (x) = C = Const на X. Итак, F1(x) – F2(x) = С. Что и требовалось доказать.
Заключение. Если мы знаем какую-нибудь первообразную F(x) для функции f(x) на промежутке X, то все возможные первообразные для этой функции f(x) на этом промежутке X содержатся в выражении F(x) + C /где C – произвольная постоянная/.
Определение 2. Выражение F(x) + C, где F(x) некоторая первообразная для функции f(x), С – произвольная постоянная, называют неопределённым интегралом от функции f(x) и символически обозначают f(x)dx.
Таким образом, согласно определению f(x)dx = F(x) +C /если F`(x) = f(x)/
При этом f(x) называют подинтегральной функцией, x – переменной интегрирования, f(x)dx – подинтегральным выражением, знак ””- символ интегрирования. Функция f(x), для которой неопределённый интеграл на данном промежутке существует, называется интегрируемой на этом промежутке. Т. к. неопределённый интеграл представляет собой множество функций y = F(x) + C, то геометрически он может быть изображён как семейство кривых (интегральных кривых), параллельных кривой y = F(x) и смещённых вдоль оси Oy на С едениц.
(рис.1)
Следует
заметить, что имеется много функций,
которые не имеют первообразных (и, как
следствие, не имеют неопределённого
интеграла). Однако, с помощью понятияопределённого
интеграла позже
будет доказано, что всякая функция f(x)
непрерывная
на промежутке X
имеет на
этом промежутке первообразную /а, значит,
она интегрируема на нём/
Из определения 2 следуют также свойства неопределённого интеграла.