§13 Наибольшее и наименьшее значение функции.

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой замкнутой области D (т.е. в области с границей ). Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области. Если какое-либо из этих значений достигается внутри области, то это есть, очевидно, экстремальное значение. Но наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и в точках границы. Отсюда следует правило: чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой области, нужно найти все внутренние критические точки, вычислить значения функции в них и сравнить эти значения с наибольшими ( наименьшими) значениями функции в этой области.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутом треугольнике с вершинамиO(0,0) , A(0,1) и B(1,0)

Решение:

1.Ищем критические точки внутри OAB.

- критическая точка внутри

.

2. Ищем наибольшие и наименьшие значения на границе. Рассматриваем отдельные отрезки.

1)На OA: , - функция одной переменной y на

, , . Вычислим значения на концах :, . 2) На OB: - функция одной

переменной x на

Аналогично: ,

На AB: , Опять имеем функцию одной переменной на при, . В точках A и B значения уже вычислялись:.

Итак, наибольшее значение z =3 достигается в точках A и B , наименьшее значение достигается в точке .

§ 14.Условный экстремум. Метод множителей лангража.

Часто в задачах приходится отыскивать экстремумы функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны некоторым (или некоторыми) условиями – например, должны удовлетворять одному или нескольким уравнениям (уравнениям связи).

Пример. Нужно изготовить коробку в форме параллелепипеда наибольшего объёма при заданной площади поверхности коробки (площадь имеющегося материала).

Математически задача звучит так. Если z – длина, ширина, высота коробки, то , .

Нужно найти максимум функции при дополнительном условии, т.е. это типичная задача на условный экстремум.

Как решать такие задачи? Рассмотрим сначала вопрос в общем виде.

I. Пусть (1) – функция двух переменных.

(2) – уравнение связи.

1) Если можно разрешить (2) относительно : , то, подставив в (1), получим функцию от одного переменного: нахождение условного экстремума сведётся к нахождению безусловного (обычного) экстремума функции от этой переменной.

2) Но можно поступить и иначе (что особенно ценно, когда (2) разрешить однозначно нельзя). При тех значениях , при которых функцияимеет экстремум, производная отподолжна обращаться в нуль. Считаем, что уравнение (2) определяеткак неявную функцию от. Считая, чтоесть функция от, из (1) находим(как полную производную):

.

Следовательно, в точках экстремума имеем

. (3)

Из равенства (2) находим (считаем), откуда

. (4)

Умножим члены равенства (4) на неопределённый пока коэффициент (множитель Лагранжа)и сложим почленно (3) и полученное из (4):

или (5)

((5) удовлетворяется во всех точках экстремума).

Подберём так, чтобы для всех значенийи, соответствующих экстремуму функциибыло, тогда ипри тех же значенияхи.

Таким образом, в точках экстремума должны одновременно удовлетворяться три уравнения с тремя неизвестными ,, 

(6)

Находим решение , тогда точка (,) и будет точкой, подозрительной на условный экстремум (больше не нужно!).

Обычно из характера самой задачи можно сказать есть ли в этой точке экстремум и какой?

Для удобства практического применения метода множителей Лагранжа и составления системы (6) сразу рассматривают функцию Лагранжа: .

Тогда система и даёт систему (6).

II. Рассмотренный метод распространяется и на функции большего числа переменных, с большим числом уравнений связи.

Пусть нужно найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяютуравнениям связи:

Тогда – функция Лагранжа. Подозрительные на экстремум точки, находим, решая системууравнений снеизвестными:

Пример. Найдём решение задачи о коробке, сформулированной вначале.

,

Составим функцию Лагранжа: .

Напишем систему:

Домножим первое уравнение на , второе – на, третье – наи почленно сложим их.

Получим:

Подставим это значениев первые три уравнения, получим:

.

Из четвёртого уравнения тогда имеем: .

Отсюда: , т.е.коробка должна быть кубом с ребром .