§10 Производная по направлению.

Пусть функцияu(x,y,z) определена в некоторой области D. Возьмём в этой области некоторую точку P(x,y,z) и рассмотрим некоторый луч,исходящий из неё Направление этого луча зададим углами, которые он образует с осямиox , oy и oz. Пусть точка P(x1 y1 z1) – некоторая другая точка, расположенная на этом же луче. Рассмотрим вектор 1. Обозначим =.

С одной стороны =,

а с другой стороны координаты вектора есть его проекции на координатные оси. Поэтому

Так как координаты x,y,z однозначно характеризуют точку P в

области D, то можно писать u(x,y,z)= u(P) – и есть функция точки P. Точку P1 можно рассматривать как приращённую относительно (.) P,

т.е. есть приращение аргумента функцииu(P). Тогда соответствуещее приращение функции u(P) = u() – u(P).

Составим отношение и перейдём к пределу при.

Определение:конечный предел, если он существует,

(1)

называется производной от функции u(x,y,z)=u(P) по направлению в(.)P. Этот предел обозначают символом или(x,y,z). Как видно, величина производной по направлению зависит от точки P, где она вычисляется, и от направления , в котором берётся, т.е. от углов. Если (.)P фиксированная, то производная зависит лишь от направления. В частном случае, если направление совпадает с положительным направлением осиox, т.е. , то предел (1) есть просто частная производная функции u(x,y,z) по x

Аналогично, если совпадает сoy или oz ,то будет совпадать с частными производнымииКак известно, частные производные, характеризуют скорость изменения функции u(x,y,z) в направлении координатных осей. Производная же характеризует скорость изменения функции в направлении луча.

Модуль определяет величину скорости изменения функции, знак

- характер изменения ( увеличение или уменьшение ).

Как вычислять производную по направлению в общем случае? Оказы-

вается справедливой

Теорема: если функция u(x,y,z) дифференцируема в (.) P(x,y,z),то её

производная по любому направлениюсуществует в этой точке и равна, (2) ,

где -направляющие косинусы луча.

Доказательство. Т.к. по условию u(x,y,z) дифференцируема, то её полное приращение можно записать в виде

, где через

обозначена величина бесконечно малая высшего порядка малости по сравнению с б.м.в. Т.к.

.

Составим отношение .

Перейдём к пределу при . Учтём что;вычисляются

в(.) P и есть числа, потому отне зависят-тоже. Но тогда

,т.е. (2).

Из (2) видно снова, что еслисовпадает с осьюox, тои потомуи аналогично, еслисовпадёт с осямиoy и oz . Из (2) видно так же, что при изменении направления дифференцирования по лучу на противоположноезнакизменяется на противоположный :

. .

Замечание: Если всё происходит на плоскости ,

то направление луча вполне определяется заданием одного угла.

Тогда и потому. ()

§11 Градиент функции. В выражении производной по направлению

множители можно рассматри

вать как проекции на координатные оси

единичного вектора луча

рассмотрим вектор, проекции которого на

координатные оси равны значениям частных производных

в выбранной точке P(x,y,z). Этот вектор носит особое название – градиент функции. Обозначают его одним из символов: grad u или . Значокназывается оператором«Набла », читается «Набла u». Введён английским математиком Гамильтоном.

Определение: Градиентом функции u(x,y,z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой

Функции, т.е. grad u.

Из определения видно, что проекции графика на координатные оси зависят от точки P(x,y,z) и изменяются с изменением её координат. Тем самым каждоё точке из области определения функции u(x,y,z) соответствует определённый вектор – градиент этой функции. Из определения градиента и выражения производной по направлению видно, чтоgrad u, т.е. производная функции по направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор направления. Но grad u

- угол между градиентом и лучом ,

но тогда , т.е. производная функции по направлению равна проекцииy градиента функции на направление дифференцирования. Отсюда видно, что наибольшее значение производная достигает, когда ,т.е.. И равно это наибольшее значениеgrad u.Таким образом, grad u иесть наибольшее возможное значение производной в данной точкеP, а направление grad u совпадает с направлением луча из точки P, вдоль которого функция и меняется быстрее всего, т.е. направление градиента есть направление быстрейшего изменения функции u(x,y,z). Между градиентом и поверхностями уровня функции есть определённая связь.

Теорема: Направление градиента функции u(x,y,z) в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня этой функции, проходящей через эту точку.

Доказательство. Возьмём любую точку из области определения функции . Уравнение поверхности уровня, проходящей через точкубудет

Уравнение нормали к этой поверхности в точке будет

,

т.е. координаты направляющего вектора нормали . Но это и значит, чтоgrad u является таким вектором (у него такие же координаты).

Замечание: в случае плоскости для функции поверхности уровня есть линии уровня иgrad u лежит в плоскости XOY. По теореме grad u в каждой точке перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку. Проводя линии уровня и отмечая в различных точках вектор , мы получим графическое изображение поля, определяемого функцеий. В том направлении, где линии уровня расположены гуще, поля изменяютя быстрее. Аgrad u показывает величину и точное направление наибыстрейшего изменения.

Основные свойства градиента функции (- оператора).

1. ;

2. ;

3.

доказательство этих свойств аналогичные. Докажем 3.

или u – градиент сложной функции равен производной функции по промежуточному аргументу, умноженный на его градиент. Действительно Эти свойства показывают, что свойства градиента похожи на свойства производных функций.

Пример: С какой наибольшей скоростью может возрастать функция при переходе точкичерез?

Решение. Согласно теории наибольшая скорость возрастания функции в

будет в направлении градиента и величина скорости равна модулю градиента в этой точке.

,

grad u.

Построив вектор, реально получим направление наибольшего возрастания функции, его величина в точке будетu.