§5 Производные сложных функций нескольких переменных. Полная производная.

Как и в случае одной переменной, в случае ф.н.п. рассматриваются сложные функции (функции от функций). При этом как сами функции, так и их промежточные аргументы могут быть от любого числа.

1) Пусть дана функция и аргументыu и v сами есть функции от независимой переменной . Тогда, т.е. сложная функция отx.

Предположим, что функции имеют производные по x в точке, а функцияимеет непрерывные частные производные в окрестности соответствующей точки (u, v). Выразим тогда производнуючерез частные производныеи производные функций u и v по x.

Дадим аргументу x приращение, тогда функцииu и v получат соответствующие приращения и , а функцияz - приращение .

Так как дифференцируема (она имеет непрерывные частные производные и), то , причёмиприи.

Разделим неравенство почленно на :

.

Перейдём к пределу при . Тогдаитоже, ибо функцииu и v имеют производные в точке Х, а потому непрерывны в ней. Но тогда ии. Получим

Оттуда (1) или.

В частности, если и, то z зависит от t и непосредственно и через посредство u и v. Тогда:

. (1’)

Эту производную называют полной производной функции z по аргументу t ( в отличие от частной производной, которая является лишь одним из слагаемых для полной производной).

2) Пусть теперь и,, т.е. промежуточные аргументы сами есть функции от двух переменныхx и y.

Тогда , т.е. сложная функция от двух аргументовx и y. Можем говорить о частных производных и. Выразим их через частные производные по промежуточным аргументам функцииz и промежуточных аргументов по х и у. Предположим, что существуют непрерывные частные производные по всем аргументам у функций . Тогда оказываются справедливы формулы:(2) и(3).

В самом деле, предположим, что y зафиксировано, тогда z есть сложная функция только от x. Находимся в условиях 1) случая. (1) запишется в виде формулы (2).

Аналогично, считая фиксированным x, получим формулу (3).

Пример: u² , u = sin(x²+y), v = cos(x+y²). Найти .

= 2uv² +y) – u² sin (x+y² )=

=4x sin(x²+y ) +y²) ²+y) – sin²(x²+y ) +y²)

Заметим, что для большего числа переменных формулы (1)-(3) естественным образом обобщаются. Если и,, ... ,, то

() – полная производная.

Если и,,...,, то

; .

Заметим, что нужно делать различие в обозначении частных и обычных производных.

§6 Инвариантность формы полного дифференциала ф.Н.П.

Рассмотрим для простоты функцию двух переменных. z= f(u, v). Ее полный дифференциал, как мы видели, есть сумма частных дифференциалов:

. (1)

Это выражение (форма) полного дифференциала получено в предложении, что u и v независимые переменные. Докажем, что эта форма полного дифференциала сохраняется и в случае сложной функции, т.е. когда u и v есть сами функции, например, двух переменных: , . Теперь имеем,x и y являются независимыми переменными. По определению полного дифференциала можем написать: . Заменимиих выражениями;. Получим:dz = . Перегруппируем слагаемые. Получим

dz = .

Итак, и в случае сложной функции полный дифференциал имеет форму (1), хотя смысл du и dv в этих случаях разный. В случае независимых u и v ,, а тутэто целые выражения.

Аналогично для как при независимых аргументахu,v,...,t, так и при зависимых.

Свойство инвариантности формы полного дифференциала позволяет установить следующий факт. Для случая, когда u и v есть независимые переменные, или они есть функции от одной переменной, имеют место формулы:

; ;,.

Оказывается, что эти формулы справедливы и том случае, когда х и у являются функциями двух или большего числа переменных. Например, установим последнюю формулу. В силу инвариантности дифференциала будем его находить в форме (1), как будто, х и у независимые переменные:

- то же, что и раньше.

Пример . Обозначим ху = u. ,

.

Отсюда, между прочим, сразу имеем ,.