§4 Полное приращение и полный дифференциал ф.Н.П. Дифференцируемость ф.Н.П.

Будем, простоты ради, снова ограничиваться случаем функции 2-х переменных z= f(x, y), определённой в области Д. Пусть М₀(x₀, y₀) некоторая точка в Д. Давая x и y некоторые приращения ив точке М_0, вычислим соответствующее полное приращение функции в этой точке: . В случае функции одной переменной y= f(x), мы называли её дифференцируемой в точке, если в точке она имела производную . Для ф.н.п. это определение не годится. Дадим другое определение.

Определение 1: функция двух переменных z= f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x₀, y₀), если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде (1), где А и В постоянные, не зависящие оти, а величиныизависят отии стремятся к нулю, когдаи.

По аналогии со случаем одной переменной будем называть функцию , б. м. в. в точке (x₀, y₀), если , и введём в рассмотрение б. м. величину. Она стремится к нулю прии.Сумма первых двух слагаемых линейно зависит оти. Сумма двух последних слагаемыхуже не линейно зависит отии есть б.м. величина высшего порядка малости по сравнению с б. м. в.

, в самом деле: т.е.. Таким образом, сумма первых двух слагаемыхлинейно зависит отии отличается отна б. м. в. высшего порядка малости по сравнению с:. Линейная часть называется поэтомуглавной частью полного приращения.

Определение 2: Если функция z= f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀), то линейная относительно ичасть её полного приращения называетсяполным дифференциалом функции в этой точке: (2).

Из определения 1 дифференцируемой функции легко установить следующие факты:

1.Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке и частные производные и.

Всамом деле, если функцияz= f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀), то в ней имеет место формула (1). Положим . Тогда.или . Совершенно аналогично, полагая , получим т.е существует. Кстати, отсюда следует, что полное приращение дифференцируемой функции может быть записано в виде (), а полный дифференциалилиили, т.е. полный дифференциал есть сумма частных дифференциалов.

В формулах (1’) и (2’) частные производные вычисляются в точке (x₀, y₀), где функция дифференцируема.

Заметим, что т.к. , то полный дифференциал широко применяется в приближённых вычислениях: ибо, откуда

2). Из формулы (1) легко показать, что если функция дифференцируема в точке (x₀, y₀),то она и непрерывна в этой точке.

В самом деле: , что и означает непрерывность функции в точке (x₀, y₀).

Показано, что, если функция дифференцируема, то она имеет и частные производные и. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Из существования частных производных дифференцируемость ещё не следует. Нужны дополнительные условия. Приведём наиболее простое и употребительноедостаточное условие дифференцируемости.

Теорема: если функция z= f(x, y) имеет частные производные икак в самой точке (x₀, y₀) так и в некоторой её окрестности и они в самой точке непрерывны, то функция дифференцируема в точке (x₀, y₀).

Доказательство: пусть в некоторой - окрестности точки (x₀, y₀) существуют частные производные и, непрерывные в самой точке. Рассмотрим полное приращениефункции в точке (x₀, y₀) и покажем, что оно может быть записано в виде (1) или (1’) при всех условиях.

Разность 1 можно рассматривать как приращение функции в точке , вызванное приращением аргумента x: , а саму функцию в этом случае как функцию одного независимого переменногоx: .Производная функции совпадает с частной производной ,которая существует в . Но раз производная существует, то сама функция непрерывна, и потому к ней применима теорема Лангранжа:

, где (3).

Совершенно аналогично разность 2 можно рассматривать как частное приращение функции по y и по теореме Лангранжа записать, что , где(4).

Из (3) и (4) имеем: (5)

Обозначим: (6)

Из (5) и (6) получаем, что или(7). Из (6) видно, чтоизависят оти. Покажем, чтои0 прии0. Прежде всего,иприи. А так как по условиюинепрерывны в точке (x₀, y₀), то разности слева в (6),а значит, и величины . Тем самым всё доказано, т.к. полное приращениедействительно представлено в виде (1’) с выполнением требований определения 1. Значит, функция дифференцируема в точке (x₀, y₀).

Эта теорема даёт условия достаточные, но они не являются необходимыми, так как уже для функции одной переменной (а она может рассматриваться как частный случай функции любого числа переменных) непрерывность производной необязательна.

Из теоремы следует, что если частные производные существуют и непрерывны в некоторой окрестности точки, то, тем более, функция дифференцируема в этой точке.

В дальнейшем рассматриваем чаще всего именно такой случай.

Замечание: функция называется дифференцируемой, если, причём,при, т.е. аналогичное определение.