17

IV. Функции нескольких переменных §1.Понятие о ф.Н.П.,её области определения. Геометрическое

ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Рассматривая функцию одной переменной, мы имели связь y= f(x) одной независимой переменной x и одной зависимой y. В жизни, на практике часто имеется сразу несколько переменных величин. Например: Vцилиндра= R²H. Температура Т нагретого тела зависит от точки (x, y, z) где она измеряется, и от времени t, через которые она измеряется, т.е. T= f(x, y, z, t) и т.п. Среди этих переменных несколько независимых переменных - аргументов и одна зависимая - функция. Для простоты рассмотрим три переменных x, y и z. При этом x и y могут принимать произвольные значения, а z принимает уже соответствующее значение. Множество всевозможных пар (x, y), которые могут рассматриваться, называют областью изменения переменных x и y. Будем обозначать её через Д.

Определение 1: Если каждой паре (x, y) значений независимых друг от друга переменных x и y из некоторой области их изменения Д, соответствует некоторое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определяемая в области Д.

Обозначают: z= f(x, y), z= (x, y)и т.п. Область Д называют областью определения функции 2-х переменных. Как и в случае одного переменного, функция 2-х переменных существует не для любых значений x и y.

Определение 2: Множество всех возможных пар (x, y) значений аргументов x и y, при которых функция не теряет числового смысла, т.е. принимает единственное действительное значение, называют областью существования функции.

Область существования – самая широкая из всех областей определения. Если дана функция и ничего не сказано об области определения, то под ней подразумевается область существования функции. Каждая пара (x, y) геометрически есть точка на плоскости. Изображая пары из Д, мы получим область на плоскости – её тоже называют областью определения функции. В частности областью определения может быть вся плоскость. Чаще же областью определения является часть плоскости, ограниченная некоторой линией. Эту линию называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называют внутренними точками области. Область из одних внутренних точек называется открытой, область вместе с границей называется замкнутой.

Область называетсяограниченной, если она вся может быть заключена в круг радиуса R с центром в начале координат.

Пример 1: ; ;

Д- полуплоскость: замкнутая, неограниченная.

П

2

y

2

ример 2: ;;

Д

x

2

0

- вся плоскость вне кругаR=2: незамкнутая, неограниченная.

Определение функции трёх и более переменных – аналогичные.

Определение 3:если каждой совокупности значений переменных (x, y, z,…t) из области значения Д, соответствует определённое значение переменной , тоназываетсяфункцией независимых переменных x, y, z,…t, определённой в области Д. Обозначают: =f(x, y, z,…t) и т.п.

Понятия области определения и существования аналогичные. В случае функции трёх независимых переменных =f(x, y, z) область определения есть геометрически часть трёхмерного пространства, ограниченная некоторой поверхностью.

Функция одной переменнойy= f(x) геометрически изображается графиком. Функция 2-х переменных тоже может изображаться графиком, но пространственным. Функция z= f(x, y) каждой точке (x, y) из области Д сопоставляет аппликату z. Совокупность концов перпендикуляров образует некоторую поверхность,

z= f(x, y) –её уравнение.

Пример 1: - задаёт верхнюю полусферу радиусаR с центром в точке (0,0,0)

Пример 2: z= x² + y² - задаёт параболоид вращения.

Построение графиков функции 2-х переменных и даже их представление связано с трудностями. Помогают часто сечения поверхности плоскостями, параллельными некоторой координатной плоскости, например X0Y. Полагают, что z= c. Тогда, c= f(x, y) – линия пересечения. Её проекция на плоскость X0Y, есть плоская кривая. Полагая, что , получим другую линию. Затем, и т.д.

Получим семейство линий, по которым можно судить о виде поверхности – где она круче, где положе и т.п. Сами линии называютсялиниями уровня. Они применяются в картографии и называются горизонталями, изотермы, изобары – в метеослужбе.