§12. Смешанное произведение трех векторов.

Основные свойства.

Пусть даны три вектора a,b,c.

Определение:Число, получаемое от векторного произведения двух векторов и последующего скалярного умножения результата на третий, называетсясмешанным произведениемтрех векторов (иногда векторно-скалярным произведением).

Обозначается: a(bc), (a, [b,c]) или (a,b,c).

Отметим основные свойства смешанного произведения.

1. Свойство: Смешанное произведение трех некомпланарных векторов по модулю равно объему параллепипеда, построенного на сомножителях. Оно положительно, если вектора образуют правую тройку, отрицательно, если они образуют левую тройку.

|(a,b,c)| = |a||b||c|sin|cos|

V_пар=S_оснH= |b||c|sin|a|cos

a[b,c] = |a||bc|cos= |a||b||c|sincos,sin0, 0

Поэтому знак смешанного произведения совпадает со знаком cos=> Смешанное произведение > 0, если направлен в ту же сторону от плоскости векторов, что ии < 0, если - в противоположную. Поэтому (a,b,c)>0 – если тройка векторов правая,- если левая.

Очевидно, еслиe₁,e₂,e₃ортонормированный базис, то (e₁,e₂,e₃)=1 в зависимости от того, какую тройку (правую или левую) они образуют.

2. Свойство: Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны.

Доказательство: (a,b,c)=0 или |a||b||c|sincos= 0 возможно, если:

1. хоть один вектор нулевой => все 3 компланарны.

2. sin= 0 =>b||c=>a,b,cкомпланарны

3. cos= 0 =>aперпендикулярен [bc] =>aв плоскости векторовb,c=> они компланарны

Обратно:a,b,cкомпланарны =>cos= 0, (a,b,c)=0

3. Свойство: a[b,c]=[a,b]c или a(bc)=(ab)c

В самом деле. Если a,b,cправая, тоa(bc)=V_пар, но (ab)c=c(ab) и тройкаc,a,bтоже будет правой (см. чертёж) =>c(ab) равно тому жеV_парс тем же знаком.

“” и “” можно менять местами

Поэтому часто их не ставят: abc

4. Свойство: (a₁+a₂,b,c)=(a₁,b,c) +(a₂,b,c) = и аналогичные равенства для других сомножителей (без доказательства)

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

Теорема:Смешанное произведение векторов:

a = {₁, ₂, ₃}; b = {₁, ₂, ₃}; c = {₁, ₂, ₃ }

выражается через их координаты в произвольном базисе e₁, e₂, e₃в следующем виде:

(1)

Доказательство:Согласно (1.10)

[b,c]=(₂₃-₃₂)(e₂e₃)+(₃₁-₁₃)(e₃e₁)+(₁₂-₂₁)(e₁e₂)

Умножаем скалярно обе части этого равенства на a=₁e₁+₂e₂+₃e₃

Получим, учитывая свойства смешанного произведения

e₂(e₃e₁) = - e₂(e₁e₃) = e₁(e₂e₃) = (e₁,e₂,e₃)

e₃(e₁e₂) = (e₁e₂)e₃ :

(a,b,c) = a [b,c] = ₁ [₂₃ - ₃₂] (e₁,e₂,e₃) + ₂ [₃₁ - ₁₃] (e₁,e₂,e₃) +

+ ₃ [₁₂ - ₂₁] (e₁,e₂,e₃) =

Что и требовалось доказать.

Следствие 1.Перестановка любых двух сомножителей в смешанном произведении изменяет его знак на противоположенный.

В самом деле, перестановка двух сомножителей в смешанном произведении приведет к перестановке двух строк в определителе в (1), а это изменит знак определителя (а значит и всего выражения) на противоположенный.

Итак, (a,b,c) = - (b,a,c) = (c,a,b) = - (c,b,a) = …

Следствие 2.

• условие компланарности векторов a,b,c

В самом деле, (a,b,c) = 0 для компланарных векторов. Но (e₁,e₂,e₃)0, т. к. они образуют базис. Остается равенство нулю определителя в (1)

Следствие 3.Объем параллепипеда, построенного на векторахa,b,c(приведенных в одно начало) как на сторонах находят по формуле:

V=(a,b,c) (“+” – берут если тройка векторов правая, “–” – если левая)

Если базис ортонормирован (i,j,k), то

, т.к. (i,j,k) = 1