§10. Евклидово пространство.

Рассмотрим снова произвольное линейное пространство Z. В нем мы тоже можем рассмотреть понятие скалярного произведения двух векторов, а исходя из него определить важные понятия длины вектора и угла между ними (Заметим, что в обычном пространстве векторов мы поступали наоборот, хотя можно и так как будет показано ниже).

Рассмотрим только вещественные линейные пространства Z.

Определение: Вещественное линейное пространство называется Евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам x и y сопоставимо вещественное число (x,y) и это соответствие удовлетворяет следующим условиям: каковы бы ни были вектора x, y, z и число α.

1. (x, y) = (y, x)

2. (x+y, z) = (x, z) + (y, z)

3. (αx, y) = α(x, y)

4. (x, x)>0, если x0.

Следствия:

1. (x, αy) = (αy, x) = α(y, x) => (x, αy) = α (x,y)

2. (x, y+z) = (x, y) + (x, z) доказывается аналогично.

Понятие длины и угла в Евклидовом пространстве.

Определение: Длиной вектора x называется число

Углом между векторами xиyназывается каждое число, удовлетворяющее условию:

В силу аксиомы 4) длина вектора есть действительное неотрицательное число. Длина вектора равна 0 тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Покажем, что определение угла тоже корректно, для чего покажем, что . Это будет сразу следовать из неравенства Коши-Буняковского:

(*)

Докажем это неравенство. При любых x,yи любых числахиимеем:

(αx+y, αx+y) = α²(x,x)+2α(x,y)+²(y,y)0

Причем равенство нулю достигается тогда и только тогда, когда αx+y=0.

Пусть α= (y,y),= - (x,y) мы получим:

(y,y)[(x,x)(y,y)-(x,y)²]0 => (*) приy0.

При y=0 (*) очевидна.

Из формулы (*) следует ещё одно простое и полезное неравенство:

| x+y||x|+|y| (**)

На самом деле:

(x+y,x+y) = |x|²+2(x,y)+|y|²|x|²+2|x| |y|+|y|²= (|x|+|y|)²

Неравенство (**) называется неравенством треугольника:

Знак = имеет место лишь при (x,y) = |x| |y|

Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Т.е. при cos= 1, т.е. при=0.

Аналогично векторы называются ортогональными, если (x,y)=0

Систему векторов f₁,f₂, … ,f_mв евклидовом пространстве называютортонормированной, если (f_i,f_j)=0 приijи (f_i,f_i)=1 для любых номеровiиj.

Теорема:Ортонормированная система векторов линейно независима.

Доказательство:f₁, … ,f_m- ортонормированная система векторов.

Рассмотрим равенство α₁f₁+…+α₁f_m= 0.

Оно возможно лишь при α_i=0 (i= 1,…,m). Умножим равенство наf_i. Тогда α_i(f_i,f_i)=0 => α_i=0,i– любые. => только тривиальная линейная комбинация равна 0 => Мы имеем независимую систему векторов.

Что и требовалось доказать.

Теорема:вn– мерном евклидовом пространстве существует ортонормированная система изnвекторов.

Согласно предыдущей теореме такая система является базисом (его называют ортонормированным базисом).

Если e₁,e₂, … ,e_nбазис вRⁿ(иногда обозначаютE_n), то любые векторыxиyможно записать:

Тогда

Если базис ортонормированный, то (e_i,e_j)=0 приijи (e_i,e_i)=1 =>

Видим, что все основные формулы обычного пространства векторов R³обобщаются на произвольные евклидовы пространства n-ной размерности (особенно с ортонормированным базисом).