§6. Линейная зависимость векторов.

Линейная комбинация нескольких векторов называется тривиальной, если все её коэффициенты равны нулю. Очевидно она равна нулю. Линейная комбинация называется нетривиальной, если хоть один коэффициент не равен нулю.

Определение: Векторы a₁, a₂, … , a_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0.

Если же только тривиальная линейная комбинация векторов равна 0 для этих векторов, то они называются линейно независимыми. Для линейно независимых векторов из

α₁а₁+α₂а₂+ …+α_nа_n = 0 => α₁=α₂=…=α_n = 0.

Оказываются справедливыми теоремы:

Теорема 1: Любые два коллинеарные вектора линейно зависимы. Любые два неколлинеарные вектора линейно независимы.

Теорема 2: Три компланарных вектора линейно зависимы, а любые три некомпланарные вектора линейно независимы.

Теорема 3: Каждые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Либо все они компланарны, тогда они линейно зависимы. Если они некомпланарны, тогда один из них линейно выражается через три других. (=> линейно зависимы.)

Замечание: Базисы на плоскости и в пространстве состоят из линейно независимых систем векторов.

§7. Декартова система координат.

Фиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку M. OM – радиус-вектор точки M.

Если в пространстве имеем базис e₁,e₂,e₃, то точке М можно сопоставить тройку чисел – координат (компонент) радиус-вектора ОМ.

Определение: Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность базиса и точки.

Точка О называется началом координат, прямые, проходящие в направлении базисных векторов называются осями координат.

Плоскости, проходящие через оси, называютсякоординатными плоскостями.

Определение: Координаты радиус-вектора точки М по отношению к началу координат называются координатами точки М в этой системе координат.

ОМ= xe₁ + ye₂ + ze₃. Тогда М(x,y,z).

Аналогично на плоскости.

При заданной системе координат:

1. Каждой точке М соответствует единственная тройка чисел (её координат).

2. Каждой тройке чисел соответствует определённая точка М.

Задача 1 В системе координат О, e₁,e₂,e₃ заданы координаты начала и конца вектора АВ : А(x₁,y₁,z₁), В(x₂,y₂,z₂).

Найти координаты вектора АВ.

Решение:

АВ=ОВ-ОА, но ОВ={x₂,y₂,z₂}, ОА={x₁,y₁,z₁}.

Тогда АВ={ x₂- x₁, y₂- y₁, z₂- z₁ }.

Определение: Чтобы найти координаты вектора нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.

Задача 2 А(x₁,y₁,z₁), В(x₂,y₂,z₂). Разделить отрезок АВ в отношении . Найти координаты т. М(x,y,z), делящей AB в отношении .

Т. е. AM / MB = . >0 => AM = MB.

AM = {x-x₁, y-y₁, z-z₁}; MB = {x₂-x, y₂-y, z₂-z}

Тогда (x-x₁)=(x₂-x); (y-y₁)=(y₂-y); (z-z₁)=(z₂-z);

=>

Аналогично:

Замечание: Если М=С – середина отрезка, то =1 =>

§8. Линейные пространства.

Мы рассмотрели множество геометрических векторов (направленных отрезков) и ввели в нем линейные операции (сложение и умножение на число), удовлетворяющие отмеченным свойствам. Оказывается, можно рассматривать и множества других объектов (чисел, матриц, функций и т.д.), в которых можно ввести аналогичные операции с аналогичными свойствами. Отвлечемся от конкретных свойств элементов, и будем рассматривать, так называемые, линейные пространства (иногда по аналогии с множеством обычных векторов их называют также векторными).

Определение: множество Z называется линейным пространством, а его элементы векторами, если:

а) задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам x,y  Z сопоставляется элемент из множества Z, называемый их суммой и обозначаемый x+y;

б) задан закон (операция умножения на число), по которому любому x  Z и числу α сопоставляется элемент из Z, называемый произведением x на α и обозначаемый αx.

в) для любых элементов x,y,z  Z и любых чисел α, β выполнены следующие требования (аксиомы линейного пространства):

1. x+y = y+x

2. (x+y)+z = x+(y+z)

3. Существует элемент О такой, что для любого x  Z выполняется равенство x+O = x

4. Для каждого x существует элемент “-x” такой, что x+(-x) = 0

5. α (x + y) = αx + αy

6. (α + β) x = αx + βx

7. α (β x) = (α β) x

8. 1x = x

Примечание: если в б) число α лишь вещественное, то линейное пространство называется вещественным. Если α – комплексное, то Z – называется комплексным линейным пространством.

Здесь “-x” часто называется элементом противоположенным x (для “-x” противоположенным будет -(-x) = x )

O – называется нулевым элементом или нулем.

1. Обычное векторное пространство геометрических векторов будет линейным пространством.

2. Множество комплексных чисел будет линейным вещественным пространством ( если α – действительное).

3. Есть линейное пространство из одного элемента «0» с операциями: 0+0 = 0; α0 = 0

Как и в пространстве обычных векторов в линейном пространстве можно определить понятия разности векторов, линейных комбинаций, линейной независимости и зависимости системы векторов. Сформулируем важные факты:

Если некоторые из векторов, входящих в систему, сами образуют зависимую подсистему, то и вся система линейно зависима.

Если вся система линейно независима, то и всякая её подсистема также линейно независима.

Определение:Базисомв пространствеZназывается любаясистема векторов, если:

А) она линейно независима;

Б) каждый вектор из Zесть линейная комбинация векторов этой системы.

Отсюда следует, что базис состоит из максимального числа линейно независимых векторов в этом пространстве. Коэффициенты линейной комбинации для любого вектора называются его компонентами (или координатами). Они для каждого вектора в данном базисе определяются однозначно.

Примем без доказательства теорему:

Теорема: Если в линейном пространстве существует базис из n векторов, то любой другой базис в этом пространстве состоит тоже из n векторов.

Определение: Линейное пространство, в котором существует базис из n векторов, называется n-мерным, а число n-размерностью пространства.

В 0-вом пространстве нет базиса и оно считается имеющим размерность 0.

Множество векторов на плоскости является 2-х мерным.

Обозначается L₂ (R₂)

Множество векторов в пространстве является 3-х мерным.

Обозначается L₃ (R₃)

Есть линейные пространства, в которых для любого натурального m найдется система m векторов, линейно независимая. Такое пространство называется бесконечномерным. Базиса в нем нет.