§19. Свойства функций, непрерывных на сегменте

Функции, непрерывные на [a,b], обладают рядом важных свойств, которые сформулируем в виде теорем (без доказательства)

Теорема 1. Функция y=f(x), непрерывная на сегменте [a,b] хотя бы в одной его точке принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее, т.е. найдутся хотя бы две точки х₁ и х₂ принадлежащих [a,b], что для любого х принадлежащего [a,b] f(x₁)f(x) и f(x₂)f(x).

Значения функции f(x₁)называют наибольшим значением функции на [a,b]и обозначают М, f(x₂)- наименьшим и обозначают m. Если функция не является непрерывной на [a,b]или она непрерывна, но не на сегменте, а, например, на интервале (a,b), то теорема может не выполняться.

Примеры:

1)

Наибольших и наименьших значений нет, т.к. функция разрывается в точке х=0.

2)

Функция непрерывна, но не на сегменте. Ни наибольших, ни наименьших значений нет. Какое бы значение (01)ни взяли, найдется больше его и меньше. Числа же 0 и 1 значениями функции не являются.

Теорема 2. Если функция f(x)непрерывна на [a,b], то она и ограничена на нем.

Доказательство. Очевидно из 1 теоремы: для всех х принадлежащих [a,b] mf(x)M, где m и M наименьшее и наибольшее значения функции. Обозначим K=max . Тогда f(x)К, что и означает ограниченность функции.

Теорема 3. Если функция f(x)непрерывна на [a,b]и принимает на его концах значения разных знаков, то на [a,b] найдется, по крайней мере, одна точка с (a<c<b), в которой функция обращается в нуль: f(c)=0.

Теорема имеет простой геометрический смысл: график непрерывной функции у=f(x) при переходе из одной части плоскости (где ординаты имеют один знак, например, +) в другую (где ординаты имеют другой знак, например, -) пересекает ось ОХ. Таких точек может быть и несколько.

Непрерывность существенна. Для разрывной функции этого может и не быть.

Пример: у=f(x)=х⁵-1 на [0,2]

f(0)=-1<0, f(2)=31>0 обращение в нуль. Очевидно, х⁵-1=0, х=1.

Обобщением теоремы 3 является следующая теорема:

Теорема 4 (о промежуточном значении непрерывной функции). Если функция f(x)непрерывна на [a,b]и принимает на его концах неравные значения f(а)=А и f(b)=В, АВ, то каково бы ни были число , АВ, найдется такая точка с между а и b, что f(с)= .

Теорема 4 имеет простой геометрический смысл:

Прямая у= пересекает график хоть в одной точке с абсциссой х=с, асb.

Очевидно, теорема 3 есть частный случай теоремы 4, если А и В имеют разные знаки, то взяв =0, мы найдем точку асb, что f(с)=0

.

Следствие. Если функция у=f(х)непрерывна в [a,b], то она принимает любое значение из [m,M], где m и M наименьшее и наибольшее значения функции на [a,b].

Доказательство. Пусть наибольшее значение M принимается функцией в точке х₁, а наименьшее m в точке х₂. Рассмотрим сегмент [х₁,х₂]. На нем функция непрерывна, а потому должна принимать все значения mM. Но [х₁,х₂]- это часть [a,b].

118