§16. Непрерывность функции в точке и в промежутке.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой точке х₀ и какой-либо ее окрестности. Обозначим у₀=f(х₀). Дадим значению аргумента х в точке х₀ некоторое приращение _х (дельта х), положительное или отрицательное, все равно. Тогда новое приращенное значение аргумента будет х=х₀+_х, и новое приращенное значение функции будет у₀+_у=f(х₀+_х). Приращение функции _у соответствующее приращению _х выразится формулой:

_у=f(х₀+_х)-f(х₀)

Определение 1. Функция у=f(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в самой точке х₀ и ее окрестности и если _у=0(1), т.е. если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Равенство(1) подробнее можно записать: [f(x₀+_х)-f(x₀)]=0 (2)

Геометрически непрерывность функции в точке х₀ означает, что при малых _хразность _умежду ординатами f(x₀) и f(x₀+_х)тоже мала, т.е. значения функции изменяются плавно,на немного.

Примеры. 1) f(x)=х. Докажем, что функция непрерывна при любом х₀. Дадим приращение х₀+_х. _у=(х₀+_х)-х₀=_х. . Это и означает, чтоf(x)=х непрерывна в любой точке х.

2)f(x)=cos x. х₀…_х,х₀+_х.

, т.к. , а величинаесть ограниченная. Т.к. х₀ – любая точка, то cos х непрерывен на всей прямой.

*(самостоятельно доказать непрерывность функций f(x)=х² и f(x)=sin х в любых х₀).

Доказывая аналогично для любых основных элементарных функций, можно установить:

Теорема. Всякая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Заметим, что условие непрерывности (2) можно записать (3). Обозначим х=х₀+_х, тогда _х=х-х₀ при _х0,x-x₀0,xx₀ Таким образом, из (3) . Отсюда другое определение непрерывности в точке:

Определение 2. Функция у=f(x)называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и некоторой ее окрестности, и если предел функции при хх₀ существует и равен значению функции в этой точке:

(4)

Если учесть, что (мы показали, чтоf(х)=х непрерывна в любой точке х₀), то(4)можно переписать так:(5), что словами можно выразить так:

при нахождении предела от непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком этой функции, т.е. достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента х значение х₀, к которому он стремится.

Короче: символ предела и символ непрерывной функции можно менять местами.

Примеры: 1)

2)

3. 

4. и т.п.

Определение 3. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,b), а<b, то ее называют непрерывной в этом интервале. Геометрически это означает, что график функции в интервале есть сплошная, непрерывная линия.

Определение 4. Если функция f(х) определена и в точке х=а и при этом , то говорят, что функцияf(х)в точке х=а непрерывна справа. Если функция f(х) определена в точке х=b и при этом , то говорят, что функция непрерывна в точке х=b слева. Если функция непрерывна в точке х₀, то она непрерывна в ней и слева, и справа.

Если функция непрерывна в интервале (а,b)и на его концах, то ее называют непрерывной на сегменте [a,b].

Пример: функция у=sin х непрерывна на любом [a,b], т.к. она непрерывна на всей прямой.