§9. Другие свойства пределов.

Теорема 4. (О пределе промежуточной функции). Если значения функции f(x) заключены между соответствующими значениями функций u(x) и v(x): u(x)f(x)v(x), и при этом u(x) и v(x) при xx₀ (или x) стремятся к одному и тому же пределу А, то f(x) стремится к этому же пределу А при xx₀ (x).

Доказательство. Пусть xx₀ и ufv, uА и vА. Это значит, что для >0 найдется ₁>0, что x:|x-x₀|< ₁=>|u(x)-A|< или

A-<f(x)<A+ (1)

найдется ₂>0, что x|x-x₀|<₂=>|v(x)-A|< или A-<v(x)<A+ (2)

Возьмем =min{₁,₂}, (тогда для х:|x-x₀|<) (1) и (2) выполняется одновременно и, значит, и неравенство

А-<u(x)f(x)v(x)<A+ или A-<f(x)<A+ или |f(x)-A|<. Последнее показывает, что . ч.т.д.

Теорема 5. Если при хх₀(или х) функция f(x) принимает неотрицательные значения f(x)0 и при этом стремится к пределу А, то А есть число неотрицательное А0. Если f(x)0, то А0.

Доказательство. Пусть f(x)A при xx₀ и f(x0). Допустим, что А<0, тогда |f(x)-A||A|>0. Откуда следовало бы, что при xx₀ f(x)A, что противоречит условию теоремы. Противоречие доказывает, что должно быть А0. Аналогично доказывается и второе утверждение.

Теорема 6. Если для функций u(x) и v(x), имеющих пределы при xx₀ (или при x), выполняется соотношение u(x)v(x), то имеет место

Доказательство. По условию u(x)v(x)=>u(x)-v(x)0. По т. 5 или.

Теорема 4 позволяет, не находя предела сказать, существует ли предел функции f(x), если ограничивающие её функции имеют одинаковые пределы. Такого типа теоремы называются теоремами существования. Приведем важный признак существования предела монотонной числовой последовательности (т.е. возрастающей или убывающей). Будем говорить, что последовательность х₁,х₂,…,х_n,… ограничена сверху, если найдется такое число K, что для всех n х_nK; будем говорить, что последовательность ограничена снизу, если найдется такое k, что для всех n kx_n. Последовательность, ограниченную и снизу и сверху называют просто ограниченной: kx_nK. Числовая последовательность называется возрастающей, если для любого n

x_n_-1<x_n, убывающей, если для любого n x_n_-1>x_n.

Теорема. (без док-ва).

Если числовая последовательность х₁,х₂,…,х_n_,… возрастающая и ограничена сверху, то она имеет предел. Если числовая последовательность х₁,х₂,…,х_n_,… убывающая и ограничена снизу, то она имеет предел.

Если последовательность ограничена сверху числом К, то х_nК, но возрастая, они стремятся к некоторому числу А (об этом и говорит теорема). Ясно, что АК. Если последовательность возрастающая и неограниченная сверху, то х_n. Убывающая и ограниченная снизу х_nk, неограниченная х_n-.

Одной ограниченности числовой последовательности мало, чтобы она имела предел.

Например: х_n=(-1)ⁿ: -1,1,-1,1…, не имеет предела, хотя и ограниченная. Она не является монотонной. Такие не монотонные называются иногда колеблющимися последовательностями. Колеблющаяся последовательность, даже ограниченная, может не иметь предела.

§10. Предел функции при х0 (х – радианная мера угла).

Теорема.

Функция при х0 имеет предел равный 1: (1)

Предел (1) называется первым замечательным пределом.

Доказательство.

Функция f(х)=определена в окрестности точки х=0, а в самой точке нет. Имеем неопределенность. Для нахождения предела рассуждаем следующим образом.

Рассмотрим окружность радиуса 1 и в ней центральный угол х, причем, 0<х</2. Построим хорду АВ и касательную в точке А (линию тангенсов). Видим, чтоS_ABОS_сектВОАS_ОСА или учитывая, чтоS_ABО=АООВsinх=11sinх;S_сектВОА=ОААВ=1х=х;S_ОАС=ОАСА=1tgх=tgх.