§2. Предел переменной величины.

Пусть х - упорядоченная переменная величина (например числовая последовательность).

Определение.

Постоянное число a называют пределом переменной величины х, если какое бы сколь угодно малое положительное число  мы не взяли, можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству x-а.

Символически это пишут ха или limх=а (от латинского limes - предел).

Геометрически это определение означает, что какую бы малую  - окрестность точки a мы не взяли, все последующие значения x после некоторого будут лежать в этой окрестности.

Из чертежа видно, что неравенство означает, что расстояние от точки х до а меньше . А это и есть внутренность окрестности. Точка х удовлетворяет, очевидно, и двойному неравенству a-<x<a+. Так что неравенства и это равнозначны.

Определение: Для числовой последовательности {x_n} a является пределом, если по можно указать такой номерN, что для всех

Для членов последовательности все значения x_N,x_N+1 и далее лежат внутри -окрестности обязательно.

Переменную x, значения которой образуют числовую последовательность x₁,x₂,…,x_n часто записывают в виде члена последовательности x=x_n или {x_n}. Например, {1/n}. Это переменная величина или последовательность с общим членом x_n=1/n: 1,1/2,1/3…

Пример: Пусть переменная величина x принимает последовательно значения: x₁=2/1, x₂=3/2, x₃=4/3, …,x_n=(n+1)/n,… т.е. образуют числовую последовательность. Докажем, что .

Возьмём .. Как только номерn станет , его примем заN. Тогда неравенство будет выполняться для . Но тогда всё доказано.

Теорема 1: предел постоянной величины равен этой постоянной. Доказательство: Постоянная величина является частным случаем переменной – все её значения =с: x=c/ Но, тогда limc=c.

Теорема 2: Переменная величина x не может иметь двух пределов.

Доказательство: Допустим limx=a и limx=b. Тогда

и после некоторого значенияx. Но тогда

. Так как сколь угодно мало, то неравенство возможно лишь приa=b

Замечаеие: Переменная может и не иметь предела: x=x_n=(-1)ⁿ=-1,+1,-1,+1. Расстояние до любой точки а от её значений –1,+1 не может быть меньше 1/2(-1)ⁿ не имеет предела.

Мы предполагали а – числом. Но переменная x может стремиться и к бесконечности.

Определение: Переменная x стремится к бесконечности, если для начиная с некоторого значенияx вес остальные значения удовлетворяют неравенству . Переменнаяx стремится к , если при тех же условиях выполняется неравенствоx>M и к -, если при тех же условиях выполняется неравенство x<-M. Если переменная X стремится к бесконечности , то её называют бесконечно большой величиной и пишут

Пример: x=x_n=n². Возьмём >0. Должно выполнятьсяn²>M. n>. Как только n удовлетворяет этому неравенству, так для всех x_n=n² неравенство выполняется. Значит, n², а точнее n².

§3. Предел функции.

Будем предполагать, что аргумент х функции у=f(х) стремится к х₀ или .

Рассмотрим поведение функции y в этих случаях.

Определение.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Число A называется пределом функции при хх₀, если для любого , сколь угодно малого, можно указать такое число , что для всех хх₀ и удовлетворяющих неравенству x-x₀ выполняется неравенство f(х)-A.

Если A есть предел функции f(х), то пишут илиf(х)А при хх₀.

Определение так можно проиллюстрироватьгеометрически.

Если А есть предел f(х) при хх₀, то взяв любую - окрестность точки А, мы всегда можем указать такую  - окрестность точки х₀, что для всех х из этой  - окрестности значения функции f(х) отстоят от А не дальше , т.е. попадут в выбранную - окрестность точки А, или, все равно, часть графика соответствующая точкам х из - окрестности лежит целиком в полосе шириной 2.

Видно, что чем меньше , тем меньше должно быть и .

Определение.

Пусть аргумент х стремится к точке х₀, принимая все время значения xx₀ xx₀.Тогда число А₁(А₂), к которому стремится функция f(х), называется пределом функции f(х) в точке х₀ справа (слева) или правосторонним (левосторонним).

Записывается: lim_хх0+0f(х)=А₁ , (lim_хх0-0f(х)=А₂).

Можно доказать, что если предел lim_хх0f(х)=А существует, то существуют в этой точке и оба односторонних предела и они равны, А₁=А₂=А. Обратно: Если существуют односторонние пределы и они равны, то существует и общий предел. Если же хоть один не существует или они не равны, то предел функции не существует.

Пример.

Доказать, что f(х)=3х-2 имеет предел при х1 равный 1.

Любое х  3х2-1, 3х3, 3х, х3.

В качестве  можно взять любые положительные числа /3; 0</3.

Доказали, что для любого  достаточно взять /3, чтобы из 0х f(х)-1, но это и значит, что lim_X(3х-2)=1.

Определение.

Число А называется пределом функции у=f(х) при х, если для любого  (сколь угодно малого) можно указать такое положительное число P, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству хP выполняется неравенство f(х)-А.

Записывают lim_хf(х)=А.

Геометрически это означает, что для любого  график функции для хp и х-p располагается в полосе шириной 2.

Пример.

f(х)=1/х при х, f(х)0.

Какое бы 0 ни взяли, график функции при хР и х-Р расположится в полосе шириной 2.

1/х, 1/х, х1/, Р=1/.

Аналогично определяются и f(х)=А₁ и f(х)=А₂. В первом случае должно выполняться неравенство f(х)-А₁ для хР, во втором f(х)-А₂ при х-Р (Р0.

Так, 1/х=0, и 1/х=0. Равенство их и позволяет рассматривать общий предел 1/х=0.