§11. Некоторые приемы построения графиков функций.

График функции можно построить, исследовав данную функцию, выяснив особенности хода ее графика. Но в ряде случаев график функции можно построить, исходя из графиков основных элементарных функций. При этом полезны следующие правила:

1. График функции у=f(x+а) получается из графика функции у=f(x), если перенести ось ординат параллельно самой себе на а единиц (вправо, при а, влево при а).

Например: у=2^х+3

Каждая точка графика у=f(х+а) получается при абсциссе на а единиц меньшей, чем такая же точка у графика у=f(х). А это и достигается перемещением оси ординат.

2. График функции y=f(х)+b получается из графика y=f(х) переносом оси абсцисс параллельно себе на b единиц (вверх при b<0, вниз при b>0).

Доказательство.

Любая ордината графика у=f(х)+b на b единицу «увеличена», чем у графика y=f(x). Но это «увеличение» и достигается смещением оси OX.

3. График функции у=kf(х) получается из графика у=f(х) «растяжением» его по вертикали в k раз, например: у=(2/3)2^х, при к - действительное растяжение, при к - сжатие.

4.График функции у=f(kх) получается из графика функции у=f(х) «сжатием» графика у=f(х) по горизонтали в k раз, при этом точка графика с абсциссой х=0 остается неизменной, при k - сжатие, при k - растяжение.

Например, у=2^2/3х, строим y=2^x, сжимаем его к оси OY в 2/3 раза.

При построении более сложных графиков эти правила применяются в совокупности. При этом сначала производят сжатие по оси абсцисс, затем перенос оси ординат, сжатие по оси ординат, и перенос оси абсцисс.

Например:

у=22^2(х-1)+1, строим y=2^x; сжимаем график к оси OY в 2 раза, получаем y=2^2x; переносим ось OY на 1 влево, получаем y=2^2(x-1); растягиваем его от оси OX в 2 раза, получаем y=22^2(x-1); ось OX опускаем вниз на 1. Полученный график в этой системе и будет искомым.

II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

§1.Упорядоченная переменная величина.

Пусть имеется некоторая переменная величина х. Она принимает определенные числовые значения из своей области изменения. Если про каждые из двух значений переменной можно сказать, какое является предыдущим, а какое последующим, то переменная называется упорядоченной.

Например, частным случаем упорядоченной переменной величины является такая, значения которой можно снабдить номерами и записать в порядке следования номеров в виде числовой последовательности: {x_n}={х₁, х₂, х₃,...,х_n,...}. Ясно, что за значением х_к следует значение х_к+1, а предшествует х_к-1 независимо от их величины.

Определение 1.

Упорядоченная переменная величина называется возрастающей (убывающей), если каждое последующее ее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются вместе монотонно изменяющимися или монотонными величинами.

Определение 2.

Переменная величина х называется ограниченной, если есть такое число К, что все последующие значения ее, начиная с некоторого, удовлетворяют равенству x или все равноx.

Иначе, величина х ограничена, если, начиная с некоторого все последующие значения ее расположены на (но вовсе не обязательно заполняют сегмент весь).