§4. Область изменения переменной величины.

Переменная величина принимает разные числовые значения в зависимости от ее характера и условий задачи. Так температура воды принимает значения от 0 до 100 градусов 0t100⁰, -tg+, -1sinx1,…. Часто числовые значения переменной величины обозначаются той же буквой x.

Определение.

Совокупность всех числовых значений переменной величины x называют областью изменения этой переменной.

Наиболее часто встречаются следующие области изменения переменной величины, называемые обычно промежутками:

Интервал (а,b)- множество всех чисел x, удовлетворяющих неравенству

axb

а и b - концы интервала, а - левый, b - правый.

Сегмент - (замкнутый интервал) a b - множество всех чисел x, удовлетворяющих неравенству axb

а и b - концы, a-b - длина сегмента.

Полусегмент a b: из всех ax<b, полуинтервал a b: axb

Рассматривают и бесконечные промежутки:  - из всех чисел, вся прямая; a - из всех чисел xa; a - из всех чисел xa, [a и т.п.

Окрестность точки а - множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству axa , т.е. интервал длины  с центром в точке а.

 называется часто радиусом окрестности, а саму окрестность называют  - окрестностью.

То, что число x принадлежит некоторому промежутку, обозначается значком .

xab.

Например: 

§5. Понятие функции.

В природе, при решении практических и технических задач, а потому и в математике, приходиться учитывать взаимосвязь величин. Так пройденный путь при равномерном движении зависит от времени: S=v·t, площадь круга зависит от его радиуса Р=R². Одна переменная тут (t,R) является независимой, принимает произвольные допустимые значения (0t, 0R), другая (s,Р) является зависимой или функцией, она принимает уже соответствующие значения. Область изменения их уже 0.

Дадим строгое определение функции для произвольных величин.

Пусть x и y две переменные величины, имеющие соответственно области изменения Х и У.

Определение:

Переменная величина y называется функцией от переменной величины x в области её изменения Х, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставиться в соответствие одно определенное значение y из У.

Записывается: y=f(x), y=φ(x) и т.п.

При этом х называется независимым переменным или аргументом функции.

Множество Х называется областью определения или существования функции, множество Y - областью изменения функции. Символ f, φ называется характеристикой функции и указывает на закон соответствия.

Область определения X функции либо указывается либо находится по самой функции.

Например:

y=х², Х=, т.к. x может принимать любые значения. Y=0, т.к. y=х² при любом x.

Задав некоторое значение аргумента х=х₀, мы можем вычислить соответствующее значение функции y₀=f(х₀).

Например:

х₀=2, у₀=2²=4.

Функцию у=f(x) можно изобразить графически на плоскости.

Определение:

Графиком функции у=f(х), определенной в некоторой области Х, называют множество всех точек М(х,у) плоскости, координаты которых связаны соотношением у=f(х).

В этом смысле само равенство у=f(х) называется уравнением этого графика. Обычно график функции это некоторая кривая.

Замечание:

Мы говорим только об однозначной функции, т.е. когда каждомуx соответствует одно y.

Если одномуx соответствует два и более y, то функция называется многозначной. Мы рассматриваем однозначные, если это не оговаривается.