§2. Абслютная величина действительного числа и её свойства

Определение.

Абсолютной величиной (модулем) некоторого действительного числа x называют само это число x, если оно неотрицательное (x0) или число - x, если x - отрицательное.

Принято обозначатьХ. Согласно определению

, если x0,

, если x<0.

Геометрически модуль числа x означает расстояние, на которое удалена на числовой прямой точка x от начала координат.

3=3; -2=2; 0=0.

Из определения абсолютной величины следует выполнение для  действительных x неравенства хx.

Рассмотрим некоторые свойства.

1. Абсолютная величина суммы двух или нескольких чисел не больше суммы абсолютных величин отдельных слагаемых:

х₁+х₂+...+х_nх₁+х₂+...+х_n.

Доказательство.

Докажем для двух слагаемых, для большего числа аналогично.

х₁+х₂х₁+х₂

1.)х₁+х₂0. Тогда х₁+х₂=х₁+х₂х₁+х₂;

2.) х₁+х₂0, тогда х₁+х₂=-(х₁+х₂)=(-х₁)+(-х₂)х₁+х₂;

других возможностей быть не может, доказано полностью.

Примеры:

(-2)+3-2+3=5, 15

2. Абсолютная величина разности не меньше разности абсолютных величин, т.е. x-yx-y.

Доказательство.

Положим x-y=z. Тогда x=z+y. По доказанному x=z+yz+y или z|x-y или xyxy;

3. Абсолютная величина произведения нескольких сомножителей равна произведению абсолютных величин этих сомножителей.

х₁х₂…х_nх₁…|х_n

Доказательство.

следует из самого определения действия умножения:

x₁x₂…x_n=|x₁||x₂|…|x_n|=>|x₁x₂…x_n|=||x₁||x₂|…|x_n|=|x₁||x₂|…|x_n|.

Следствие:

хⁿхⁿ, хⁿхххххххⁿ

n раз n раз

4. Абсолютная величина частного двух чисел равна частному от деления абсолютных величин делимого и делителя .

Доказательство.

Обозначим x/yz, тогда xyz, xyzyzzxy или .

5. Неравенство x для , равносильно x, неравенство x равносильно двум x и x.

§3. Переменные и постоянные величины.

В конкретных науках (физике, химии и т.п.) часто нужно знать с какой именно величиной имеют дело, т.е. учитывают качественную характеристику величины (вес, скорость и т.п.). В математике отвлекаются от качественных свойств и говорят о некоторой абстрактной величине, обозначая ее символически буквами x, y и т.д. И имеют дело лишь с числовыми значениями этой величины. Это обстоятельство позволяет выводы математики применять к исследованию самых разных конкретных величин.

В математике различают два вида величин: постоянные и переменные.

Определение:

Величина называется постоянной, если она всегда (или хотя бы в условиях данной задачи) сохраняет одно и то же числовое значение.

Примеры.

Сумма углов треугольника, скорость света в вакууме, абсолютный ноль -273 градуса.

Определение.

Величина называется переменной, если она в условиях даже одной задачи принимает различные числовые значения.

Примеры.

Температура воздуха в течение дня, скорость движения машины, расстояние от Солнца до Земли,…

Бывает порой так, что одна и та же величина в одних условиях может считаться постоянной, в других переменной. Так ускорение силы тяжести в пределах Земли может меняться, но в конкретном месте постоянно. Иногда величина кажется постоянной, но она переменная. Например, ход часов зависит от температуры, тряски и т.п.

Величины, которые сохраняют постоянное значение в любых условиях, называются абсолютными постоянными (сумма углов треугольника, число  и др.).

Высшая математика изучает преимущественно переменные величины и их взаимосвязь между собой.