§8. Конус.

Если вращать прямую вокруг оси ОZ, в результате получим поверхность называемую конической или конусом, он называется круговым. Уравнение конуса будет или (1). Если растянуть конус по оси ОХ в к раз, получим общий конус второго порядка. Его каноническое уравнение (2), где а=kb. Очевидно, в сечении конуса плоскостями z=h получаются эллипсы, а плоскостями x=h или y=h - гиперболы.

Нетрудно доказать, что образующими общего конуса непременно являются прямые линии.

Докажем, что если некоторая точка лежит на конусе (2), то и вся прямая , проходящая через М и О лежит на конусе.

Пусть М имеет координаты (m,n,l). Тогда вектор является направляющим вектором прямой . Точка О(0,0,0) лежит на прямой. Поэтому параметрическое уравнение прямой x=mt, y=nt, z=lt. (3) Т.к. точка М лежит на конусе, то её координаты удовлетворяют уравнению (2): .

Возьмём точку N(x,y,z) на ОМ. (xyz) выразятся уравнениями (3). Но тогда . Значит и т. N прямой OM конусу.

§9. Эллиптический параболоид.

Если вращать параболу (р>o), вокруг оси oz, то в результате получим поверхность называемую параболоидом вращения. Его уравнение или (1). Если растянуть этот параболоид по оси OY в к раз, то получим параболоид общего вида - эллиптический параболоид. Его уравнение (2), здесь, т.к.Y заменится на , числа р иq > 0, очевидно. В сечении параболоида (2) плоскостями z=h>0 получим эллипсы или , где .С ростом h полуоси эллипсов бесконечно увеличиваются. В сечении плоскостями x=h и y=h получаются параболы и. Параболоид (2) расположен над плоскостьюXOY и касается ее в началe координат. О(0,0,0).

§10. Гиперболический параболоид.

Это поверхность второго порядка, которая определяется уравнением (1). Гиперболический параболоид уже не может быть получен методом вращения и растяжения, не относится он и к числу цилиндров. Чтобы представить вид поверхности выясним вопрос о сечениях. При пересечении плоскостьюZ=h получаются гиперболы (2) или. (3) , где; в сечении плоскостями Х=h , Y=h получим параболы и. В окрестности начала координат гиперболический параболоид имеет вид седла .

Замечание:

Хотя гиперболический параболоид имеет сложную форму , эта поверхность является линейчатой, то есть может быть составлена из одних прямых также как цилиндры, конусы и однополосный гиперболоид. Эту особенность этих поверхностей используют в строительстве. Русский инженер Шухов предложил конструкции из металлических балок, расположенных также как расположены прямолинейные образующие однополосного гиперболоида (вращения). Такие конструкции оказались легкими и прочными. Они часто употребляются для устройства высоких радиомачт, водонапорных башен.

II.Введение в математический анализ.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

План

1.Число. Переменная. Функция.

§1. Величина и число. 72

§2. Абсолютная величина действительного числа и её свойства. 73

§3. Переменные и постоянные величины. 74

§4. Область изменения переменной величины. 75

§5. Понятие функции. 76

§6. Способы задания функции. 77

§7. Обратная функция и её график. 79

§8. Понятие сложной функции. 81

§9. Основные характеристики поведения функции. 81

§10. Элементарные функции. 82

§11. Некоторые приёмы построения графиков функций. 88

2. Предел. Непрерывность.

§1. Упорядоченная переменная величина. 90

§2. Предел переменной величины. 90

§3. Предел функции. 92

§4. Бесконечные пределы функции. Бесконечно большие величины. 93

§5. Ограниченные функции. 95

§6. Бесконечно малые величины (б. М. В.) и их основные свойства. 95

§7. Основные теоремы о действиях над пределами. 97

§8. Неопределённые выражения. 99

§9. Другие свойства пределов. 100

§10. Предел функцииsin x/x при x 0. 101

§11. Число е. 102

§12. Понятие о гиперболических функциях. 103

§13. Натуральные логарифмы. 105

§14. Сравнение бесконечно малых величин. 105

§15. Эквивалентные бесконечно малые величины. 106

§16. Непрерывность функции в точке и на промежутке. 108

§17. Точки разрыва функции. 110

§18. Действия над непрерывными функциями. 111

§19. Свойства функций, непрерывных на сегменте. 113

3. Дифференциальное исчисление.

§1. Задачи, приводящие к понятию производной функции. 116

§2. Определение производной функции. 118

§3. Уравнение касательной и нормали к графику функции. 120

§4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. 121

§5. Производные постоянной, синуса, косинуса и степенной функции. 121

§6. Производные суммы, произведения и частного. 122

§7. Производные обратной и сложной функций. 123

§8. Производные обратных тригонометрических функций. 124

§9. Производные логарифмической и показательной функций. 125

§10. Производные степенной и степенно-показательной функций. 125

§11. Производные гиперболических функций. 126

§12. Таблица основных формул дифференцирования. 126

§13. Неявная фнукция и её дифференцирование. 127

§14. Параметрически заданные функции и ихз дифференцирование. 128

§15. Дифференциал функции. 129

§16. Дифференциалы основных элементарных функций, суммы,

произведения и частного. 131

§17. Инвариантность формы дифференциала функции. Дифференциал

сложной функции. 132

§18. Производные высших порядков. 133

§19. Дифференциалы высших порядков. 135

§20. Производные высших порядков от функций, заданных

неявно и параметрически. 136

4. Свойства дифференцируемых функций

и некоторые применения производных.

§1. Теоремы о «средних» значениях функции. 137

§2. Применение производной к нахождению пределов функций.

Правило Лопиталя. 142

§3. Формула Тейлора. 145

5. Исследование функций с помощью производных.

Построение графиков функций.

§1. Условия постоянства, возрастания и убывания функций. 148

§2. Экстремумы функций. 149

§3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. 155

§4. Направление вогнутости кривой и точки перегиба. 157

§5. Асимптоты кривой (графика функции). 160

§6. Полное исследование функции и построение её графика. 164

6. Кривизна кривой.

§1. Длина дуги кривой. Дифференциал длины дуги. 167

§2. Кривизна плоской кривой. Её вычисление. 171

§3. Радиус, круг и центр кривизны. Понятие эволюты и эвольвенты. 173

I.ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ.

§1. Величина и число.

При исследовании явлений природы и в своей практической деятельности человек сталкивается с множеством различных величин. Например:

время, скорость, вес, сила, масса - это физические величины; атомный вес, коэффициент растворимости - химические величины; объём, площадь, длина - геометрические и т.д.

Величин чрезвычайно много, но все они обладают одним характерным свойством - каждая величина может быть измерена величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Так, для температуры единицей измерения является 1⁰, длины – 1м, и т.п. Результатом всякого измерения является отвлеченное число, которое выражается отношением рассматриваемой величины к её единице измерения.

Это отвлеченное число называется числовым значением или просто значением данной величины.

ЭТО НУЖНО РАЗЛИЧАТЬ:

сама величина, являясь отображением определенного качества предмета, всегда конкретна (длина, вес), значение же величины - отвлеченное число.

Число может быть целым (если единица содержится целое число раз в измеряемой величине), дробным (если существует другая единица, которая содержится целое число раз как в измеряемой величине, так и в прежней единице) и иррациональным (когда такой общей единицы не существует, т.е. данная величина оказывается несоизмеримой с единицей измерения).

Вам известно, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Поэтому, если сторона квадрата = 1, то длина диагонали будет выражаться числом 2. Оно является иррациональным. Иррациональным является и число , равное длине полуокружности диаметром 1. Примерами иррациональных чисел могут служить 3, 5, , и т.п.

Из арифметики известно, что всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. И обратно: всякая конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь выражает рациональное число: 3/5=0,6; 1/6=0,1666666...=0,1(6).

Всякое же иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби и наоборот: всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь есть иррациональное число. Например, число =3,141592…

Все рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных или вещественных чисел. Каждое вещественное число может быть геометрически изображено в виде точки на числовой оси, т.е. на прямой, на которой выбрано начало отчета, соответствующее числу ноль и отмечена точка соответствующая числу 1. Вправо от нуля откладываются положительные числа, влево - отрицательные.

рис. 1

Строго доказано, что каждому действительному числу соответствует единственная точка на оси и наоборот, каждой точке оси соответствует единственное действительное число. Поэтому обычно выражение «число х» и «точка y» считают равнозначными. Важными свойствами множества действительных чисел являются следующие:

1. Между любыми двумя действительными числами x и y (xy) есть сколько угодно как рациональных, так и иррациональных чисел;

2. Всегда выполняется одно из соотношений: x=y или xy или ХУ. Большему числу соответствует точка на числовой оси, лежащая правее.