§4. Сжатие и растяжение поверхностей.

Пусть имеем некоторую поверхность , F(x,y,z)=0 (1)- её уравнение. Возьмём какое-либо положительное число к>0 и заменим каждую точку поверхности другой точкой М(х,у,z) причём, ,,.

Тогда поверхность преобразуется в новую поверхность S. Очевидно, при к>1 имеем растяжение в направлениях оси OZ , в случае k<1 -сжатие по той же оси. Точка лежит на поверхности .

Поэтому или (2) . Уравнению (2) удовлетворяет координаты любой точки М на S. Значит, (2) и есть уравнение «растянутой» по оси OZ поверхности S.

Итак, правило: Чтобы получить уравнение «растянутой» в k раз по оси OZ поверхности S , нужно в уравнении исходной поверхности заменить z на .

Рассмотрим теперь другие (не цилиндрические) часто встречающиеся поверхности 2го порядка.

§5. Эллипсоид

Будем вращать эллипс вокруг оси OZ. Получим поверхность (1) , которая называется эллипсоидом вращения. Если растянуть эллипсоид по оси OX в к раз, то в уравнение (1) координаты х заменятся на и мы получим . Положив мы получим каноническое уравнение эллипсоида общего вида. .(2)

Если рассекать эллипсоид какой либо плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, то получим эллипс.

Например, пологая z=h, -c<h<c, получим в сечении эллипс или, если разделить обе части на и положить , , то получим . Аналогично, пологая x=h или y=h, получим тоже эллипсы. Этим и объясняется название поверхности - эллипсоид. Числа a,b,c называются полуосями эллипсоида. Если они различны, то эллипс называют трёхосным. Эллипс (1) будет двуосным. Сфера, очевидно, есть частный случай эллипсоида, когда a=b=c=R.

Замечание. Первоначальный эллипс можно вращать и около оси OY. Получим тоже эллипсоид. Он называется вытянутым, а от вращения около оси OZ - сжатым.

§6. Однополостный гиперболоид.

Если вращать гиперболу вокруг оси OZ, то в результате получим поверхность (1), она называется однополостным гиперболоидом вращения. Растянем этот гиперболоид по оси ОХ в к раз тогда х заменим на . Обозначим . В результате получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида общего вида. (2). Если рассекать однополостный гиперболоид плоскостями параллельными плоскости XOY, их уравнение z=h, то в сечении получим эллипсы: или (3), где , . Самый малый эллипс будет с полуосями a и b при z=0 : - так называемый горловой эллипс. При сечении плоскостями x=h и y=h получаем гиперболы , или (4) ,.В частности при уравнение (4) имеет вид или и - уравнения прямых. Значит, на однополостном гиперболоиде лежат прямые линии.

Из сказанного ясно, что однополосный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки бесконечно расширяющиеся в обе стороны от горлового эллипса. Он состоит из одного куска, одной полости. Он имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости.

§7. Двухполостный гиперболоид.

Если вращать гиперболу вокруг оси OZ, то в результате получим двухполостный гиперболоид вращения. (1) Если растянуть его по оси ОХ в к раз, то получим общий вид двухполостного гиперболоида. Его каноническое уравнение (2), где а=kb. Если пересекать двухполостный гиперболоид плоскостями z=h (h>c), в сечении получим эллипсы или , где , . При бесконечном возрастании h

и , эллипсы увеличиваются ; при h=c и =0, эллипсы стягиваются в точку; при <c. и имют мнимые значения, пересечений нет.

Если пересекать плоскостями x=h или y=h получим в сечении гиперболы или

Из сказанного ясно, что двухполостный гиперболоид состоит из двух бесконечных кусков - полостей, отстоящих одна от другой на 2с. Двухполостный гиперболоид имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости.