§6. Линейные преобразования на плоскости и в пространстве

Если задано правило, по которому каждой точке плоскости ставится в соответствие точкатой же плоскости, то говорят, что задано преобразование плоскости:.

Если при этом , то этопреобразование называется линейным. Оно характеризуется матрицей . Если определитель матрицы(т.е. матрицанеособенная), то линейное преобразование называетсяневырожденным (или афинным). Если , то преобразованиевырожденное.

Аналогично определяется линейное преобразование в пространстве. В этом случае

и

Матрица – матрица преобразования.

Примеры.

1. Поворот на угол .

.

или после преобразования

преобразование линейное.

Матрица преобразования

Определитель , т.е. преобразование невырожденное, афинное.

1. Преобразование подобия

Пусть ,причемлинейное преобразование.

Матрица .

преобразование афинное.

1. Зеркальное отражение от оси .

преобразование афинное.

1. Проектирование на ось .

преобразование линейное, вырожденное.

Плоскость преобразуется в прямую.

§7. Собственные векторы и собственные числа матрицы (линейного преобразования)

Пусть дано линейное преобразование

(1)

с матрицей . Будем подпонимать координаты точки или вектора, а подсоответственно координаты точки или вектора, полученных в результате преобразования.

Вектор отличный от нулевого называетсясобственным вектором матрицы , если в результате преобразования с матрицейон переходит в коллинеарный ему вектор,.

Так, в преобразовании подобия все векторы собственные. В зеркальном отражении от оси собственными будут векторы параллельные оси. При повороте собственных векторов нет.

Число называетсясобственным числом матрицы . Если– собственный вектор, то любой вектор, коллинеарный ему, тоже будет собственным. В самом деле, векторперейдет в||||.

Собственных векторов бесконечное множество. Они образуют направление, называемое инвариантным.

Найдем все собственные векторы линейного преобразования. Пусть дано линейное преобразование (1), вектор – собственный для него и– собственное число, т.е.и. Тогда,. Или, подставляя в (1), получим

или (2)

Это однородная система 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными.

Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и, т.е. решением является лишь нулевой вектор, он собственным не является по определению. Значит, определитель

(3)

И тогда система (2) имеет бесчисленное множество решений, а одно уравнение в (2) является следствием другого. Перепишем (3) в виде

(3')

Уравнение (3) или все равно (3'), называется уравнением собственных чисел матрицы преобразования . Так как это уравнение квадратное, то возможны случаи:

1. (3) имеет вещественные различные корни и. Подставляяв любое уравнение системы (2), получим

–постоянное число

Это тангенс угла, образуемого собственным вектором с осью. Он определяет инвариантное направление, соответствующее собственному числуматрицы.

Аналогично

Получаем другое инвариантное направление.

2. Если уравнение(3) имеет равные корни и, то инвариантное направление одно.

3. Если уравнение (3) не имеет действительных корней (они комплексные), то преобразование не имеет инвариантных направлений.

Замечание. В случае преобразования подобия уравнение (3) имеет вид

Поэтому любое направление есть инвариантное.