§3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Рассмотрим здесь, главным образом, декартову прямоугольную систему координат OXYZ(с ортонормированным базисом).

Если плоскости заданы общими уравнениями:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (I) (1)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (II)

То их нормальные векторы: n₁={A₁,B₁,C₁},n₂={A₂,B₂,C₂}.

Плоскости параллельны когда n₁ || n₂или в координатной форме:

(2) – условие параллельности плоскостей.

Аналогично:

(3) – условие параллельности прямых:

A₁x+B₁y+C₁z=0 (I) (4)

A₂x+B₂y+C₂z=0 (II)

Заметим, что условия (2) и (4) являются условиями параллельности плоскостей и прямых соответственно и в общей декартовой системе координат.

В декартовой прямоугольной системе(n₁ , n₂)=0 является условием перпендикулярности векторов, а значит и плоскостей в пространстве и прямых на плоскости. Или в координатной форме:

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 – условие перпендикулярности плоскостей.

A₁A₂+B₁B₂=0 – условие перпендикулярности прямых.

Если прямые на плоскости заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

y = k₁x+b₁ (I)

y = k₂x+b₂ (II)

то мы можем их записать в общей форме:

k₁х-y+b₁=0

k₂х-y+b₂=0 =>

k₁ / k₂ = 1 илиk₁ = k₂– условие параллельности прямых

k₁ k₂+(-1)(-1) = 0 илиk₁ k₂= -1 –условие перпендикулярности прямых.

Если прямая задана каноническим уравнением, а плоскость общим уравнением:

, a = {a₁,a₂,a₃} – направляющий вектор прямой.

Ax+By+Cz+D=0,n = {A,B,C} – нормальный вектор плоскости,

то (a,n)=0 условие параллельности прямой и плоскости:Aa₁+Ba₂+Ca₃=0

a||nусловие перпендикулярности прямой и плоскости:

Замечание: Условие параллельности прямой и плоскостиAa₁+Ba₂+Ca₃=0 справедливо и в общей декартовой системе координат.

§4 Основные задачи о прямых и плоскостях.

1. Уравнение прямой по двум точкам.

Пусть в пространстве имеется общая декартова система координат и две точки М₁(x₁,y₁,z₁) и М₂(x₂,y₂,z₂).

Мы можем написать каноническое уравнение прямой по одной из точек (например М₁) и направляющему векторуа=М₁М₂= {x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}:

(1)

На плоскости через две точки М₁(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂) уравнение прямой:

(2)

Если один из знаменателей равен нулю, например y₂-y₁=0, то это означает для прямойy=y₁ (т. е. приравнивает числитель 0).

2) Уравнение плоскости по трем точкам.

Пусть М₁(x₁,y₁,z₁), М₂(x₂,y₂,z₂), М₃(x₃,y₃,z₃) три точки, не лежащие на одной прямой. Через них можно провести одну плоскость. Возьмем произвольную точку М(x,y,z) в этой плоскости.

Она лежит в плоскости тогда и только тогда, когда эти три вектора компланарны, т. е. (М₁М,М₁М₂,М₁М₃) = 0 или

(3)

– уравнение плоскости по трем точкам

3) Расстояние от точки до плоскости и от точки до прямой на плоскости

Определение: Уравнение плоскости (прямой) (r-r₀,n)=0 (4) называетсянормированнымуравнением, если |n|=1.

Очевидно, умножив уравнение (4) на любой из нормирующих сомножителей , получимнормированноеуравнение плоскости (прямой).

Рассуждаем для плоскости (для прямой аналогично).

0

Пусть нормированное (r-r₀,n)=0 уравнение плоскости и М некоторая точка, нужно найти расстояниеdот точки М до этой плоскости. Проведем радиус векторыR=OM,r₀=OM₀. ТогдаM₀M=R–r₀. Начало вектораnбудет в точкеM₀.

Из чертежа видно, что d=| R–r₀|·|Cos|

или d= | R–r₀|·|n|·|Cos| или

d = |(R-r₀,n)|.

Если точки М и О лежат по разные стороны от плоскости, то 0    , т. е.Cos  0

Если точки М и О лежат по одну сторону от плоскости, то 90    180, т. е.Cos  0

Равенство же d= |(R-r₀,n)| (5) имеет место и тут.

Иногда величину = (R-r₀,n) называютотклонением точки от плоскости:=d(“+” – по разные стороны; “–” – по одну сторону).

Итак: Расстояние точки от плоскости равно абсолютной величине левой части нормированного уравнения плоскости (прямой), в которой текущий векторrзаменен радиус векторомRточки М.

Уравнение (4) можно записать в координатной форме в базисе e₁,e₂,e₃. Разложим векторr-r₀по этому базисуr-r₀=xe₁ + ye₁ + ze₁ –r₀и умно­жим скалярно наn(используя дистрибутивный закон). Получим линейное уравнениеAx+By+Cz+D=0, гдеA=(e₁,n),B=(e₂,n),C=(e₃,n),D = – (r₀,n). Чтобы линейное уравнение стало нормированным, его нужно умножить на нормирующий коэффициент

В прямоугольной декартовой системе координат уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 иn={A,B,C} – нормальный вектор плоскости.=>

–нормирующий множитель.

При D0 знакберут таким, чтобы свободный член нормированного уравнения был меньше нуля.

Нормированное уравнение плоскости будет:

(6)

Коэффициенты при x,y,zесть координаты единичного нормального вектораn⁰(n=|n| n⁰ ), а они равны направляющим косинусамn=>

Обозначим:

Тогда нормированное уравнение плоскости в координатной форме будет:

(6’)

Тогда, если нужно найти расстояние dот точкиM(x₀,y₀,z₀) до плоскости, получим: (7)

Или прямо из (5.4): (7’)

Здесь р0 и означает расстояние от начала координат до плоскости. В самом деле, подставляя О(0,0,0) в (6’), получимd=|p|=p.

Для случая прямой на плоскостиAx+By+C=0 все аналогично.

Нормирующим множителем будет

и xCos+ySin–p=0 нормированное уравнение прямой.

d=|x₀Cos +y₀Sin  - p| или

­– расстояние от точки до прямой на плоскости.

4) Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть прямая задана уравнениемr-r₀=ta.

Рассмотрим R-r₀и на нем и напостроим параллелограмм

S_парал=| R-r₀a| => и

Если заданы координаты векторов, то все выражается в координатной форме.

4) Вычисление углов.

Угол между двумя прямыми вычисляется как угол между их направляющими векторами; между двумя плоскостями, как угол между нормальными векторами; между прямой и плоскостью, как угол, дополняющий угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

Наиболее удобно искать углы в прямоугольной декартовой системе, где для общих уравнений плоскости Ax+By+Cz+D=0n={A,B,C}.

Самостоятельно выписать соответствующие формулы.

=

=