§2. Уравнения плоскости, уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

1. Общие уравнения прямой и плоскости.

Будем называть уравнения:

Ax+By+Cz+D=0 (A²+B²+C²0) (1)

-линейным уравнением в пространстве

Ax+By+C=0 (A²+B²0) (2)

-линейным уравнением на плоскости

Теорема 1: В общей декартовой системе координат в пространстве любая плоскость может быть задана линейным уравнением вида (1) и наоборот: любое линейное уравнение вида (1) определяет плоскость.

Теорема 2: В общей декартовой системе координат на плоскости любая прямая может выть задана уравнением вида (2) и наоборот.

Доказательство 1:

1. Пусть имеется некоторая плоскость. Выберем систему координат так, чтобы два базисных вектора e₁иe₂располагались в этой плоскости, а векторe₃– произвольно. В такой системе координатz=0. По свойству инвариантности порядка, оно будет линейным и в любой другой декартовой системе.

2. В заданной общей декартовой системе координат имеем линейное уравнение вида (1). В силу инвариантности порядка тогда и в некоторой прямоугольной декартовой системе координат 0, e₁ ,e₂ ,e₃уравнение будет линейнымAx+By+Cz+D=0 (1) Не все коэффициенты равны нулю одновременно. Например:A0, тогда точка (–D / A; 0; 0) удовлетворяет этому уравнению. Обозначим точку М(x₀;y₀;z₀) – точку, удовлетворяющую уравнению(1): Ax₀+By₀+Cz₀+D=0 (1.2). Вычтем из уравнения (1) уравнение (1.2), получим эквивалентное уравнение:A(x-x₀)+

B( y-y₀)+C( z-z₀)=0 (3)

Но в декартовой прямоугольной системе уравнение (3) означает ортогональность векторов n(A,B,C)и

Рассмотрим плоскость, проходящую через точку М₀и перпендикулярную векторуn, и произвольную точку М(x,y,z) в этой плоскости => векторМ₀Млежит в плоскости, перпендикулярнойn=> точка М удовлетворяет уравнению (3.) и наоборот, если точка М удовлетворяет уравнению (3), то векторМ₀Мпринадлежит плоскости => точка М лежит в этой плоскости.

Вывод: координаты произвольной точки плоскости, перпендикулярнойnи проходящей через точку М₀удовлетворяют уравнению (3), а значит и уравнению (1) и наоборот, откуда и следует, что уравнение (1) – уравнение этой плоскости.

Замечание 1: Уравнения (1) и (2) называютсяобщимиуравнениями плоскости в пространстве и прямой на плоскости.

Замечание 2:Наличие или отсутствие (равенство нулю) некоторых коэффициентов в общем уравнении плоскости (1) означает определенную особенность расположения плоскости относительно координатной системы. Например, если уравнение имеет видAx+By+Cz = 0 (т. е.D = 0), то плоскость проходит через начало координат, т. к. точка О(0,0,0) удовлетворяет этому условию; если, например, А = 0, то векторn = {0,B,C} перпендикулярен ОХ, а, значит, плоскостьBy + Cz + D = 0 параллельна оси ОХ; если, например, А = 0 и В = 0, т. е. Уравнение имеет видCz + D = 0, то плоскость одновременно параллельна ОХ иOY, т. е. параллельна координатной плоскости ХOY; очевидно она перпендикулярна осиZи проходит через точку с координатами (0, 0, -D/С). ЕслиA,B,C,D  0 одновременно, то такая плоскость называетсяплоскостью общего положения: она не параллельна осям, не проходит через начало координат.

Замечание 2: Если уравнениеAx+By+Cz+D = 0 задает плоскость общего положения, то это уравнение можно преобразовать к виду:

или, обозначая

окончательно получим: (4)

Это уравнение называют уравнением в “отрезках”, т. к. величиныa,b,cгеометрически обозначают величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях (считая от начала). По этому виду уравнения плоскость легко изобразить в виде треугольника.

Все сказанное в замечаниях 2 и 3 аналогично относится и к прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости в “отрезках”, в частности имеет вид: (5)

2) Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве.

Положение прямой (на плоскости и в пространстве) вполне определено заданием некоторой точки М₀на ней и некоторым ненулевым векторомaэтой прямой:начальной точки М₀инаправляющего вектора a.

Рассмотрим прямую в пространстве (на плоскости все аналогично). Построим радиус-векторы точки М₀(x₀,y₀,z₀) и произвольной точки М(x,y,z) на прямой:OM ₀ =r ₀ ,OM =r.

Точка М лежит на прямой тогда и только тогда, когда М₀Мпараллелен векторуа.

Но тогда М₀М=t а(t–некоторое число),М₀М = r-r₀=> точка М должна удовлетворять уравнению:r-r₀=t а(6.) – этовекторно-пара-метрическое уравнение прямой(любому действительному значениюtсоответствует определённая точка М на прямой)

В координатной форме получили из (6), если учесть, что - в пространстве;

- на плоскости:

(7) - параметрические уравнения прямой в пространстве;

- параметрические уравнения прямой на плоскости.

3) Уравнение прямой на плоскости с угловыми коэффициентами и канонические уравнения прямой в пространстве.

Исключим параметры из параметрического уравнения (7)

Направляющий вектор хоть одна его координата , или≠ 0 / считаем, что ≠ 0/. Тогда из (7’) имеемили, обозначаяполучим

y - y₀ = k(x - x₀) (8)

Если положить то получим уравнение

y = kx + b. (9)

Числоназываетсяугловым коэффициентомпрямой, поэтому уравнения (8) и (9) называютсяуравнениями плоской прямой с угловым коэффициентом.

Исключая параметр из уравнения (7), получим

(10)

Эти равенства называют каноническим уравнением прямой в пространстве. Для его написания нужно знать координаты некоторой точкиM₀(x₀,y₀,z₀) на прямой и координаты какого-нибудьнаправляющего вектораэтой прямой

Аналогично из (7.) получим каноническое уравнение прямой на плоскости:

(10’)

4) Векторное уравнение прямой и плоскости.

Пусть r₀– радиус-вектор начальной точки плоскости М₀(x₀,y₀,z₀),n={A,B,C} – вектор, перпендикулярный плоскости,r– радиус вектор произвольной точки М(x,y,z) на плоскости.

Точка М лежит на плоскости (на прямой) тогда и только тогда, когда вектор (r–r₀) перпендикулярен векторуnили (r–r₀, n)=0 (11) – векторное уравнение плоскости.

В ортонормированной системе уравнение (11) запишется:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 – уравнение по точке и нормальному вектору.

Пусть анаправляющий вектор прямой, М₀(x₀,y₀) – начальная точка на ней иr₀– радиус вектор этой точки.

Точка М лежит на прямой тогда и только тогда, когдаr–r₀||а=> [r–r₀,а] = 0 – векторное уравнение прямой.

5) Общее уравнение прямой в пространстве.

Всякая линия в пространстве может рассматриваться как линия пересечения двух подходящих поверхностей и аналитически задается системой:

Прямая линия Lможет задаваться пересечением двух непараллельных плоскостей:

–это условие не должно выполняться.

Эту же прямую Lмогут задавать и любые две другие плоскости, проходящие через нее.

Однако, зная уравнения только двух плоскостей, определяющих L, все остальные можно получить. Возьмем два числаи(²+² 0) и составим равенство:(A₁x+B₁y+C₁z+D₁) +(A₂x+B₂y+C₂z+D₂) = 0 (13)

Коэффициенты при x,y,z0 одновременно (иначе бы имели пропорциональность коэффициентов ).

Тогда (13) определяет плоскость, проходящую через L. При некоторых (,) получаем определенную плоскость. Совокупность таких плоскостей называетсяпучком плоскостей, а (13) – уравнением пучка.

Задав одну точку в нужной плоскости (она не должна принадлежать L), подставим ее координаты в (13), получим уравнение относительнои. Даемпроизвольное значение и находим соответствующее значение. Подставив эту паруив (13), получим уравнение нужной плоскости пучка.

Замечание: Аналогично на плоскости:

(A₁x+B₁y+C₁)+(A₂x+B₂y+C₂)=0 (14)

• уравнение связки прямыхс некоторым центром О, являющимся точкой пересечения этих прямых.