МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математического анализа в.А. Байков

к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа ТулГУ

Математика

Конспект лекций

для студентов направлений горно-строительного профиля

Часть первая

Тула, 2000 г.

Содержание

1	Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры	3
2	Ведение в математический анализ	70
3	Дифференциальное исчисление функций одной переменной	116
4	Функции нескольких переменных	175
5	Интегральное исчисление функций одной переменной	205
6	Ряды	271

Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры.

План.

Векторная алгебра и метод координат.

§1. Скалярные и векторные величины. 5

§2. Коллинеарные, равные, компланарные векторы. 5

§3. Линейные операции над векторами. 6

§4. Свойства линейных операций. 8

§5. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. 8

§6. Линейная зависимость векторов. 10

§7. Декартова система координат. 10

§8. Линейные пространства. 11

§9. Скалярные произведения векторов. 13

§10. Евклидово пространство. 15

§11. Векторное произведение двух векторов 17

§12. Смешанное произведение трех векторов. 19

Прямая линия и плоскость.

§1. Понятие уравнения линии и поверхности. 21

§2. Уравнения плоскости, уравнения прямой на плоскости и в

пространстве. 23

§3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых и

плоскостей. 27

§4. Основные задачи о прямых и плоскостях. 28

Кривые второго порядка.

§1. Порядок кривой. 31

§2. Окружность. 32

§3. Определение и вывод канонического уравнения эллипса. 32

§4. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению. 34

§5.Определение и вывод канонического уравнения гиперболы. 36

§6. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению. 37

§7. Определение и вывод канонического уравнения параболы. 39

§8. Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению. 40

Матрицы и их применение.

§1. Основные определения. Действия над матрицами. 42

§2. Понятие ранга матрицы. 45

§3. Понятие об обратной матрице. 47

§4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной

матрицы. 48

§5. Решение систем линейных уравнений методом исключения

неизвестных (метод Гаусса). 49

§6. Линейные преобразования на плоскости ив пространстве. 52

§7. Собственные векторы и собственные числа матрицы

(линейного преобразования). 53

§8. Собственные числа и собственные векторы в случае

симметричной матрицы. 55

§9. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 56

§10. Приведение общего уравнения второго порядка к

каноническому виду. 57

Поверхности второго порядка.

§1. Порядок поверхности. 60

§2. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными

одной из координатных осей. 60

§3. Уравнение поверхности вращения. 62

§4. Сжатие и растяжение поверхностей. 63

§5. Эллипсоид. 63

§6. Однополостный гиперболоид. 64

§7. Двухполостный гиперболоид. 65

§8. Конус. 66

§9. Эллиптический параболоид. 67

§10. Гиперболический параболоид. 68

I. Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры.

1. Векторная алгебра и метод координат.

§1. Скалярные и векторные величины.

Величины бывают двух видов: скалярные (температура, масса, объём, количество электричества и т.д.) и векторные (сила, ускорение, скорость, напряженность электромагнитного поля и т.д.). Каждая скалярная величина вполне может быть охарактеризованаодним числом (количеством), выражающим отношение её к соответствующей единице измерения (20 кг, 5 м³ и т.д.). Векторную же величину одним числом полностью охарактеризовать нельзя. Векторная величина кроме количественной характеристики должна иметь и направление. Сказать, что скорость движения точки равна 5 м/сек ещё мало, нужно указать направление скорости.

Вматематике с целью достижения наибольшей общности отвлекаются от конкретных векторных величин и изучаютгеометрические векторы или просто векторы, под которыми понимают направленные отрезки. Если отрезок ограничен точками А и В и сказано, какую точку считать началом и какую концом его, то он называется направленным, а направление от начала к концу его называется направление отрезка или, все равно, вектора. Изображают вектор стрелочкой, ставя заглавные латинские буквы начала и конца, а иногда только одну прописную посередине (рис. 1).

На письме обозначают или(в книгах иногда стрелки не ставят, т.к. используют «жирный» (выделенный) шрифт для обозначения векторов.)

Длину (модуль) вектора АВ (или а) обозначают (или), понимая под ним обычную длину отрезка АВ.

Над векторами производят некоторые операции, напоминающие операции над числами и буквами в обычной алгебре. Раздел аналитической геометрии, где изучаются эти операции и их законы часто называют векторной алгеброй.