§2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Отметим сначала следующий факт: если функция f(x) имеет на [a,b] только конечное число точек разрыва и только первого рода (c₁, c₂, …, c_n), то определённый интеграл от неё существует. В этом случае

Геометрически (если f(x) ≥ 0 на [a,b]) определённый интеграл означает площадь заштрихованной фигуры / рис. 4 /.

Рис. 4

Если же одна из точек разрыва на [a,b] второго рода с бесконечным скачком, то f(x) не будет на нём ограничена и обычный интеграл не существует. Тогда рассуждают следующим образом.

Пусть сначала функция f(x) непрерывна на [a,b] и f(x) → ∞ при x → b / рис. 5 /.

Рис. 5

Точку x = b называют в этом случае особой. Возьмем как угодно малое число ε > 0 (ε < b - a). Функция на

[a,a - ε] непрерывна, поэтому существует Будем рассматривать (4)

Определение. Если существует конечный предел (4). его называют несобственным интегралом (второго рода) от функции f(x) на [a,b].

Итак (5)

обычно говорят. что несобственный интеграл (5) сходится (расходится), если конечный предел (4) существует (не существует). Геометрически это означает существование у заштрихованной фигуры (рис. 5) конечной (бесконечной) площади.

Рис. 6 рис. 7

Если функция f(x) имеет особую точку на левом конце [a,b] /рис. 6/, то

Если f(x) имеет особую точку x = c внутри отрезка [a,b] /рис. 7/, то полагают .

Последний интеграл сходится, если сходятся оба интеграла справа.

Основные свойства определённого интеграла остаются справедливыми и для несобственных интегралов 2 рода / кроме теоремы о среднем /.

В простых случаях вопрос о сходимости интеграла решается прямым вычислением по определению.

Примеры. 1) / x=1 - особая точка / Несобственный интеграл расходится.

2) / самостоятельно / Ответ: I=2, сходится.

Когда прямое вычисление затруднительно (или невозможно), применяют признаки сходимости несобственных интегралов. Наиболее простым является признак сравнения (подобный соответствующему для несобственных интегралов 1 рода).

Теорема. Если для всех выполняется условие/c>0, c - постоянное число /, то из сходимости следует сходимость и выполнение неравенства из расходимости следует расходимость .

Следствие. Если существует конечный предел / 0<k<+∞ /, то несобственные интегралы

и сходятся или расходятся одновременно.

В качестве функции для сравнения / b - особая точка / часто берут где p - действительное число.

Рассмотрим сходимость В зависимости отp.

1. p = 1. интеграл расходится.

2. p ≠ 1.

Если p>1 (т.к. ε^1-p → ∞) - интеграл расходится.

Если p<1 - число, интеграл сходится.

Итак: сходится дляp<1. расходится для p ≥ 1.

Очевидно, то же самое можно установить для

Пример. Исследовать на сходимость

. Сравним функцию f(x) с На отрезке [0,2] имеем

Но сходится (b = 2, ). Тогда по теореме сравнения и данный интеграл сходится.

Замечание. Если таков, чтоf(x) не ограничена в некоторой окрестности точки x = c (с - особая точка), то этот несобственный интеграл ( его можно назвать смешанным) понимается как сумма рассмотренных несобственных интегралов. Он сходится, если все интегралы сходятся одновременно.

Пример. / точка х = 2 особая / / закончить самостоятельно /

Ответ: расходится.

260