
- •Определённый интеграл.
- •§ 1. Постановка проблемы. Вычисление площади криволинейной трапеции и работы силы.
- •§ 2. Определение определённого интеграла.
- •§ 3. Основные свойства определённого интеграла.
- •§4. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§ 5. Интегрирование по частям и заменой переменной в определённом интеграле.
- •§1. Интеграл с бесконечными пределами интегрирования.
- •§2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
§ 5. Интегрирование по частям и заменой переменной в определённом интеграле.
Пусть u = u(x) и v = v(x) – две дифференцируемые функции от x. Имеем (u v)’ = u’v + u v’.
Проинтегрируем это равенство в пределах от a до b, получим
(18)
Учитывая,
что
формулу (18) можем переписать так:
или
окончательно:
(19)
(19) и называют формулой интегрирования “по частям” в определённом интеграле.
Очевидно, формула (19) аналогична соответствующей формуле для неопределённого интеграла. Поэтому все замечания по поводу применения этой формулы остаются справедливыми и для определённого интеграла.
Примеры.
Самостоятельно вычислить:
2)
Ответ:
π / 2 - 1.
3)
Ответ:
Метод замены переменной (подстановки) в определённом интеграле основывается на следующей теореме:
Пусть имеется
определённый интеграл
,
причемf(x)
непрерывна на [a,b].
Если существует функция x
= φ(t),
удовлетворяющая условиям:
φ(t) и её производная φ' (t) непрерывны на некотором сегменте [α,β];
φ(α) = a, φ( β) = b;
Значение функции x = φ(t) принадлежат [a,b] для всех t
[α, β],
то справедливо равенство
(20)
Доказательство. Оба интеграла в (20) существуют, т.к. подынтегральные функции непрерывны на отрезках интегрирования. Докажем справедливость самого равенства. Если F(x) некоторая первообразная для f(x) на [a,b], то можно написать следующие равенства
Из
равенства (21) следует, что
а из равенства (22), что
Равенство правых частей последних двух равенств и означает выполнение равенства (20).
Замечание. При вычислении определённого интеграла по формуле (20) не нужно возвращаться к прежней переменной (как это было при вычислении неопределённого интеграла), т.к. численное значение обоих интегралов одинаково.
Примеры.
1) Вычислить
Сделаем
замену переменной: x=r
sin
t,
тогда dx=r
cos
t
dt,
Определим
новые пределы интегрирования: для
x=0
для x=r
Теперь имеем
Замечание. Геометрическое истолкование: мы вычислили площадь четверти круга x2 + y2 ≤ r2 (рис. 5).
Рис.5.
Самостоятельно вычислить:
2)
Ответ:
7+2 ln2.
3) Ответ:
Несобственные интегралы.
Определённый
интеграл
может существоватьтолько
от ограничений на
[a,b]
функции
и только на ограниченном отрезке [a,b]
(т.е. когда длина его конечна). Различные
проблемы теории и практики делают
необходимым расширение понятия
определённого интеграла как на
бесконечные промежутки,
так и на
неограниченные функции.
Эти обобщения получили название
несобственных
интегралов.
§1. Интеграл с бесконечными пределами интегрирования.
Пусть
f(x)
есть функция, определённая и непрерывная
для всех
Тогда
для каждого конечного b
существует определённый интеграл
Он изменяется вместе сb.
Определение.
Если
существует конечный предел
то его называют несобственным интегралом
от функции f(x)
на промежутке [a,+∞]).
Символически
обозначают
Таким образом
(1)
Часто
говорят, что несобственный интегралсходится
или расходится
Рис. 1
(существует или не существует конечный предел (1)).
Если f(x) ≥ 0, то несобственный интеграл геометрически даёт площадь бесконечной криволинейной трапеции (как предела конечной при b→ +∞) (рис.1).
Она ограничена графиком функции y = f(x), прямой х = а и осью ох.
Аналогично определяется и другой несобственный интеграл:
(2)
Несобственный
интеграл
понимается как сумма двух предыдущих
(3)
(с - произвольное конечное число, например 0).
Несобственный интеграл (3) сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части.
Для несобственных интегралов справедливы все свойства, отмеченные для определённых интегралов (кроме теоремы о среднем).
В простых случаях сходимость (расходимость) несобственных интегралов удается установить прямым вычислением по определению.
Примеры.
1)
Данный интеграл расходится.
Рассмотренный интеграл выражает площадь заштрихованной бесконечной области на рис. 2.
Рис.
2
2)
Данный интеграл сходится.
Геометрически рассмотренный интеграл выражает площадь заштрихованной бесконечной области на рис. 3.
Рис. 3
Самостоятельно исследовать на сходимость несобственные интегралы
Ответ: расходится.
Ответ: сходится, его значение 1.
Часто прямое вычисление несобственных интегралов затруднительно или невозможно. Тогда пытаются установить хотя бы сам факт сходимости или расходимости несобственного интеграла. Одним из наиболее простых и употребительных средств при этом является признак сравнения, который мы сформулируем в виде двух теорем и следствия
Теорема
1.
Пусть для
всех
выполняется условие
.
/ с - некоторое число /.
Тогда если
сходится,
то
сходится
тоже и
если
расходится,
то
тоже
расходится.
Эта теорема предполагает неотрицательность функции f(x) на [a,+∞). Если же на [a,+∞) функция f(x) принимает значения разных знаков, то применяют следующую теорему.
Теорема
2.
Если
сходится
то сходится и
/ Его сходимость в этом случае называется абсолютной /.
Рассмотрим применение этих теорем на примерах.
Исследовать сходимость несобственного интеграла
Раньше
мы установили сходимость
;
тогда
сходится тем более.
Но
для всех
имеем
/c=1
/. Поэтому
сходится.
Иногда удобно применять
Следствие.
Если
существует
и
0 <k
< + ∞, то несобственные интегралы
и
сходятся
или расходятся одновременно.
В
качестве функции φ(x)
для сравнения часто берут функцию
/ α - действительное число /.
Рассмотрим сходимость интеграла
в зависимости от α (α > 0).
α = 1.
- интеграл расходится.
α ≠ 1.
α > 1.
(т.к.bα - 1 → 0) - число, интеграл сходится.
α < 1.
(т.к.b1 - α → +∞) - интеграл расходится.
Заключение.
Несобственный
интеграл
сходится дляα
> 1 и расходится для α ≤ 1.
Исследовать на сходимость несобственный интеграл
.
Сравним
функцию
с функцией
/ α = 1 в предыдущем примере /.
на
[2,+∞). При
имеем
Т.к.
расходится
(α = 1), по признаку сравнения
расходится тем более.
Заметим.
что прямое вычисление интеграла
вообще невозможно, т.к. неопределённый
интеграл
не берётся в конечном виде.