§ 5. Интегрирование по частям и заменой переменной в определённом интеграле.

1. Пусть u = u(x) и v = v(x) – две дифференцируемые функции от x. Имеем (u v)’ = u’v + u v’.

Проинтегрируем это равенство в пределах от a до b, получим

(18)

Учитывая, что формулу (18) можем переписать так:

или окончательно: (19)

(19) и называют формулой интегрирования “по частям” в определённом интеграле.

Очевидно, формула (19) аналогична соответствующей формуле для неопределённого интеграла. Поэтому все замечания по поводу применения этой формулы остаются справедливыми и для определённого интеграла.

Примеры.

Самостоятельно вычислить:

2) Ответ: π / 2 - 1.

3) Ответ:

2. Метод замены переменной (подстановки) в определённом интеграле основывается на следующей теореме:

Пусть имеется определённый интеграл , причемf(x) непрерывна на [a,b]. Если существует функция x = φ(t), удовлетворяющая условиям:

1. φ(t) и её производная φ' (t) непрерывны на некотором сегменте [α,β];

2. φ(α) = a, φ( β) = b;

3. Значение функции x = φ(t) принадлежат [a,b] для всех t [α, β],

то справедливо равенство

(20)

Доказательство. Оба интеграла в (20) существуют, т.к. подынтегральные функции непрерывны на отрезках интегрирования. Докажем справедливость самого равенства. Если F(x) некоторая первообразная для f(x) на [a,b], то можно написать следующие равенства

Из равенства (21) следует, что а из равенства (22), что

Равенство правых частей последних двух равенств и означает выполнение равенства (20).

Замечание. При вычислении определённого интеграла по формуле (20) не нужно возвращаться к прежней переменной (как это было при вычислении неопределённого интеграла), т.к. численное значение обоих интегралов одинаково.

Примеры. 1) Вычислить

Сделаем замену переменной: x=r sin t, тогда dx=r cos t dt,

Определим новые пределы интегрирования: для x=0

для x=r

Теперь имеем

Замечание. Геометрическое истолкование: мы вычислили площадь четверти круга x² + y² ≤ r² (рис. 5).

Рис.5.

Самостоятельно вычислить:

2) Ответ: 7+2 ln2.

3) Ответ:

Несобственные интегралы.

Определённый интеграл может существоватьтолько от ограничений на [a,b] функции и только на ограниченном отрезке [a,b] (т.е. когда длина его конечна). Различные проблемы теории и практики делают необходимым расширение понятия определённого интеграла как на бесконечные промежутки, так и на неограниченные функции. Эти обобщения получили название несобственных интегралов.

§1. Интеграл с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть f(x) есть функция, определённая и непрерывная для всех Тогда для каждого конечного b существует определённый интеграл Он изменяется вместе сb.

Определение. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке [a,+∞]).

Символически обозначают Таким образом

(1)

Часто говорят, что несобственный интегралсходится или расходится Рис. 1

(существует или не существует конечный предел (1)).

Если f(x) ≥ 0, то несобственный интеграл геометрически даёт площадь бесконечной криволинейной трапеции (как предела конечной при b→ +∞) (рис.1).

Она ограничена графиком функции y = f(x), прямой х = а и осью ох.

Аналогично определяется и другой несобственный интеграл:

(2)

Несобственный интеграл понимается как сумма двух предыдущих

(3)

(с - произвольное конечное число, например 0).

Несобственный интеграл (3) сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части.

Для несобственных интегралов справедливы все свойства, отмеченные для определённых интегралов (кроме теоремы о среднем).

В простых случаях сходимость (расходимость) несобственных интегралов удается установить прямым вычислением по определению.

Примеры. 1)

Данный интеграл расходится.

Рассмотренный интеграл выражает площадь заштрихованной бесконечной области на рис. 2.

Рис. 2

2)

Данный интеграл сходится.

Геометрически рассмотренный интеграл выражает площадь заштрихованной бесконечной области на рис. 3.

Рис. 3

4. Самостоятельно исследовать на сходимость несобственные интегралы

1. Ответ: расходится.

2. Ответ: сходится, его значение 1.

Часто прямое вычисление несобственных интегралов затруднительно или невозможно. Тогда пытаются установить хотя бы сам факт сходимости или расходимости несобственного интеграла. Одним из наиболее простых и употребительных средств при этом является признак сравнения, который мы сформулируем в виде двух теорем и следствия

Теорема 1. Пусть для всех выполняется условие . / с - некоторое число /.

Тогда если сходится, то сходится тоже и

если расходится, то тоже расходится.

Эта теорема предполагает неотрицательность функции f(x) на [a,+∞). Если же на [a,+∞) функция f(x) принимает значения разных знаков, то применяют следующую теорему.

Теорема 2. Если сходится то сходится и

/ Его сходимость в этом случае называется абсолютной /.

Рассмотрим применение этих теорем на примерах.

1. Исследовать сходимость несобственного интеграла

Раньше мы установили сходимость ; тогда сходится тем более.

Но для всех имеем /c=1 /. Поэтому сходится.

Иногда удобно применять

Следствие. Если существует и 0 <k < + ∞, то несобственные интегралы исходятся или расходятся одновременно.

В качестве функции φ(x) для сравнения часто берут функцию / α - действительное число /.

2. Рассмотрим сходимость интеграла в зависимости от α (α > 0).

1. α = 1. - интеграл расходится.

2. α ≠ 1.

1. α > 1. (т.к.b^{α - 1} → 0) - число, интеграл сходится.

2. α < 1. (т.к.b^{1 - α} → +∞) - интеграл расходится.

Заключение. Несобственный интеграл сходится дляα > 1 и расходится для α ≤ 1.

3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Сравним функцию с функцией/ α = 1 в предыдущем примере /.

на [2,+∞). При имеем Т.к.расходится (α = 1), по признаку сравнениярасходится тем более.

Заметим. что прямое вычисление интеграла вообще невозможно, т.к. неопределённый интегралне берётся в конечном виде.