Определённый интеграл.

§ 1. Постановка проблемы. Вычисление площади криволинейной трапеции и работы силы.

Понятие определённого интеграла является одним из основных в математическом анализе. Оно является мощным средством исследования в математике, физике, механике и т.д. Вычисления площадей фигур, ограниченных некоторыми кривыми, длин кривых, объёмов тел, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.п. приводят к вычислению пределов одного и того же вида. Рассмотрим для примера более подробно две проблемы.

I. Пусть плоская фигура ограничена непрерывной кривой y = f(x) (f(x)  0), прямыми x = a и x = b и осью ОХ

(рис.1). Такую фигуруaABb называют криволинейной трапецией. Нужно

Рис. 1

вычислить площадь этой фигуры.

Рассуждаем следующим образом. Разобьём отрезок [a,b] на n частей (элементарных отрезков) точками a = x₀, x₁, x₂, …, x_i-1, x_i, …, x_n-1, x_n = b (x_i-1 < x_i для любых i = 1,2, …, n). Длины элементарных отрезков обозначим x₁ – x₀ = x₁, x₂ – x₁ = x₂, …, x_i – x_i-1 = x_i, …, x_n – x_n-1 = x_n. Проведём прямые x = x₁, x = x₂, …, x = x_n-1. Они разобьют криволинейную трапецию на n элементарных

криволинейных трапеций x_i-1M_i-1M_i x_i. Очевидно

где

Возьмем на каждом элементарном отрезке [x_i-1, x_i] по одной произвольной точке _i, вычислим значения f(_i) функции в этих точках, построим прямоугольники с основаниями [x_i-1, x_i] и высотами h_i = f(_i). Тогда криволинейная трапеция aABb заменится ступенчатой фигурой. Имеем

(1)

Это приближённое равенство (1) становится всё более точным при n  и x_i 0 или, всё равно, при max x_i 0 (здесь и далее под max x_i понимаем длину наибольшего из элементарных отрезков [x_i, x_i+1] при каждом разбиении отрезка [a,b]). Поэтому окончательно имеем

(2)

2. Предположим, что материальная точка М под действием силы F осуществляет движение вдоль оси ОХ

и что направление этой силы совпадает с направлением оси ОХ. Требуется вычислить работу, совершаемую этой силой по перемещению точки М из точки x=a в точку x=b (рис. 2).

Рис. 2

Рассмотрим два случая.

1. F есть постоянная. Тогда работа, как известно, равна произведению силы F на путь: A = F (b - a)

2. F – переменная, её величина есть непрерывная функция от x : F = F(x), a≤x≤b. Что нужно делать, чтобы вычислить работу в этом случае?

Разобьем [a,b] на n элементарных отрезков длин x₁, x₂, …, x_n. Выберем в каждом отрезке [x_i-1, x_i] по одной произвольной точке _i и заменим работу силы F(x) на пути x_i (i=1, 2,…, n) (истинную!) произведением F(_i) x_i, т.е. мы считаем силу F на каждом участке постоянной, равной F = F(_i).

В этих условиях выражение F(_i) x_i для достаточно малых x_i даёт приближенное значение работы силы F на участке x_i, а сумма

(3)

выражает приближённо работу силы F на всём отрезке [a,b]. Очевидно, естественно считать за точное значение искомой работы предел

(4)

Итак, две разные проблемы привели к одинакового вида пределам (2) и (4).