10.2. Класична модель розрахунку густини струму

З класичної точки зору, густина струму j лінійно залежить від концентрації носіїв струму n, величини заряду e та середньої швидкості направленого руху і дорівнює

.

Дійсно, нехай у провіднику під дією напруженості електричного поля Е протікає струм І (див.Мал.96). Покладемо, що величина середньої швидкості направленого руху носіїв струму (дрейфова швидкість) є . Через поперечний переріз провідника (перпендикулярний до ) за час dt пройдуть всі електрони, які знаходяться на відстані dL= dt від нього, тобто всі електрони, що знаходяться в об'ємі циліндра .

Я кщо концентрація електронів у провіднику n, то число цих електронів буде

,

а заряд, який вони перенесуть

.

Сила струму при цьому дорівнює

,

а густина струму

,

що й треба було довести.

Зауважимо, що густина носіїв струму n у провідниках є сталою величиною.

10.3.Класична теорія електропровідності провідника.

10.3.1.Закон Ома у диференціальній формі

Класична модель електропровідності металів виходить із того, що під дією сили зовнішнього електричного поля , заряд q із масою m у проміжках між співударяннями з центрами розсіювання, наприклад, вузлами кристалічної решітки провідника, рухається прямолінійно з прискоренням . Приймається також, що час руху  між співударяннями електронів із вузлами решітки визначається їх довжиною вільного пробігу  і середньою тепловою швидкістю V_т

 = . (1)

За цей час заряд набуває максимальну швидкість

. (2)

При цьому середня швидкість напрямленого руху носіїв струму приймається рівною середній швидкості рівноприскореного руху і вона дорівнює середній арифметичній від початкової V₀ і кінцевої швидкості V (у нашому випадку V₀ = 0)

. (3)

З іншого боку, експериментально визначено, що дрейфова швидкість пропорційна величині напруженості поля в провіднику

, (4)

де коефіцієнт пропорційності u називається рухливістю носіїв струму. Підставивши в (4) значення V_д, знайдемо, що

. (5)

Тепер вираз j=neV можна записати у вигляді

, (6)

де коефіцієнт  називається провідністю і він дорівнює

. (7)

Провідність  чисельно дорівнює густині струму при одиничній напруженості поля у провіднику, а вираз (6) має назву диференціального закону Ома.

Визначення провідності , є змістом класичної теорії електропровідності провідників.

10.3.2.Закон Ома в інтегральній формі

З диференціального закону Ома можна безпосередньо одержати інтегральний закон. Для цього помножимо скалярно ліву та праву частини виразу на елементарну довжину провідника (переміщення носія струму), утворивши співвідношення

. (1)

В (1) jS_n=І є величина сили струму. Проінтегруємо (1) по ділянці кола L із точки 1 до точки 2

. (2)

В (2) вираз

(3)

є опір провідника, а  питомий опір. Інтеграл у правій частині (2) є напруга U на кінцях ділянки

. (4)

Остаточно з (2)-(4) маємо вираз для закону Ома в інтегральній формі

, (5)

який він установив експериментально.

10.4. Закон Джоуля-Ленца

10.4.1.Закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі

У класичній моделі електричного струму приймається, що при співударянні з розсіюючим центром носій струму зупиняється, тобто повністю передає середовищу придбану за рахунок роботи поля кінетичну енергію . Якщо   час вільного пробігу носія струму, то за одиницю часу носій здійснить N не пружних співударянь із решіткою

. (1)

При цьому одиниці об'єму середовища за одиницю часу буде передана енергія

, (2)

де n  концентрація носіїв струму провідника. Підставляючи у (2) вираз для максимальної швидкості , отримаємо

. (3)

Вираз (3) визначає густину теплового потоку у провіднику і носить назву диференціального закону Джоуля-Ленца.