2. Окружность и круг

• Хорды, равноудаленные от центра окружности, равны.

• Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам

• Длины касательных, проведенных из одной точки вне круга к окружности, равны между собой

• Через точку, лежащую на окружности, можно провести лишь одну касательную к этой окружности.

• Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

• Если через точку M вне окружности провести две секущие, то произведения длин секущих на их внешние части будут равны (теорема о секущей)

• Если через точку M вне окружности провести секущую и касательную, то произведение длины секущей на ее внешнюю часть будет равно квадрату длины касательной (теорема о секущей и касательной)

• Если через точку M внутри окружности провести две пересекающиеся хорды AD и BC, то произведения отрезков этих хорд будут равны (теорема о хордах)

• Величина вписанного угла равна половине дуги, заключенной внутри угла

• Угол, составленный касательной и хордой, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой

• Угол (составленный пересекающимися хордами) с вершиной внутри окружности равен полусумме соответствующих дуг

• Угол, составленный секущими к окружности, с вершиной вне окружности равен полуразности соответствующих дуг

• Формула длины окружности: L  2R , где R – радиус окружности, – постоянная, не зависящая от окружности

• Окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + r =O1O2.

• Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R − r = O1O2.

• Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

3. Многоугольники

• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180(n  2), или (n  2) радиан.

• Площадь любого четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними.

• Внутренний угол правильного многоугольника равен 180*(n-2)

• Пусть a – длина стороны правильного n-угольника, S – его площадь, r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей. Эти величины связаны фор- мулами:

S=n*a*r/2

a=2*R*sin(П/n)

r=R*cos(П/n)

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны попарно равны.

2. Противоположные углы попарно равны.

3. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

5. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

6. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

7. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

8. Две диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника.

9. Высоты параллелограмма, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине.

10. Высоты обратно пропорциональны соответственным сторонам.

11. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. 12. Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.

13. Середина любого отрезка с концами на противоположных сторонах параллелограмма лежит на прямой, проходящей через середины двух других сторон.

Ромб - – это параллелограмм, у которого все стороны равны

1. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

2. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

4. Диагонали ромба являются его осями симметрии.

5. Высоты ромба равны.

6. В ромб можно вписать окружность.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. 1. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

2. Диагонали прямоугольника равны.

3. Около прямоугольника можно описать окружность.

4. Радиус описанной окружности равен R  d/2, где d – диагональ прямоугольника.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

1. Квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны (основания) которого параллельны, а две другие (боковые стороны) – не параллельны.

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна полусумме оснований

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

2. Биссектриса угла трапеции, пересекающая второе основание, отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.

3. Средняя линия трапеции делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам.

4. Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны друг другу, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики, т.е. имеют равные площади

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Углы при основании равны между собой.

2. Диагонали равны.

3. Проекция диагонали на большее основание равна средней линии.

4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна средней линии и площадь трапеции равна квадрату высоты.