Медиана
Во всяком треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы, а также радиусу окружности, описанной около этого треугольника.
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:
Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников
Если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, то
S AMC = S BMC = S AMB =(1/3) * S ABC
Высота
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр)
Высота, опущенная на гипотенузу, делит треугольник на 2 подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой
Свойства перпендикуляра и наклонной. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то:
а) любая наклонная больше перпендикуляра;
б) равные наклонные имеют равные проекции (и обратно);
в) из двух наклонных больше та, у которой проекция больше (и обратно).
Свойство серединного перпендикуляра. Если какая-нибудь точка лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка, то она одинаково удалена от концов этого отрезка (и обратно)
Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам
Биссектриса
Биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (свойство биссектрисы угла)
Во всяком треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности.
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника (свойство биссектрисы треугольника)
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны
Окружности
Во всякий треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр окружности, вписанный в треугольник, лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
Вневписанной в треугольник окружностью называется окружность, к которой являются касательными одна из сторон треугольника и продолжения двух его других сторон
Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, имеющей длину a, выражается формулой:
r=S/(p-a)
где S и p – площадь и полупериметр треугольника.
Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных из середин сторон этого треугольника.
Во всяком треугольнике отношение любой стороны к синусу противоположного ей угла постоянно и равно диаметру описанной около треугольника окружности (обобщенная теорема синусов)
В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине: AK = AM = p – BC.
В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника: AK = p.