Теоремы планиметрии

1. Треугольник

• Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны

• Сумма двух смежных углов равна 180°

• Вертикальные углы равны.

• Углы с соответственно параллельны- ми сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

• Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°

• Во всяком треугольнике сумма углов равна 180° или  радиан

• Во всяком треугольнике:

1) против равных сторон лежат равные углы (и наоборот): a  b A  В ;

2) против большей стороны лежит больший угол (и наоборот): a  b A  В .

• Квадрат любой стороны треугольника АВС равен сумме квадратов двух других без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов).

• В прямоугольном треугольнике АВС (С  90) квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора)

• Стороны треугольника АВС пропорциональны синусам противолежащих углов (теорема синусов)

Равенство треугольников

• Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны (первый признак равенства треугольников – по двум сторонам и углу между ними)

• Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (второй признак равенства треугольников – по стороне и двум к ней прилежащим углам)

• Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников – по трем сторонам)

Подобие треугольников

• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны (первый признак подобия треугольников – по двум углам)

• Если в двух треугольниках две пары сторон пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны (второй признак подобия треугольников – по двум сторонам и углу между ними)

• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны (третий признак подобия треугольников – по трем сторонам):

• Если два треугольника подобны, то любой линейный элемент (или сумма линейных элементов) одного треугольника относится к соответствующему линейному элементу (или сумме соответствующих линейных элементов) другого треугольника как соответственные стороны (обобщенная теорема подобия). В частности, радиусы описанной или вписанной окружностей, периметры, со- ответственные высоты, медианы, биссек- трисы двух подобных треугольников от- носятся как соответственные стороны

Площадь треугольника

• Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту

• Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними: S  a*b*sinC.

• Площадь треугольника равна S  (p( p  a)(p  b)(p  c))^(1/2), где p  полупериметр (формула Герона).

• Площадь треугольника равна S  pr , где r – радиус вписанной в треугольник окружности, p – полупериметр.

• Площадь треугольника равна S=abc/4R , где R  радиус описанной около треугольника окружности

• Если треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k

Прочее

• Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны

• Параллельные прямые отсекают на сторонах угла (на двух прямых) пропорциональные отрезки (обобщенная теорема Фалеса).

• Две параллельные прямые, пересекаемые рядом прямых, исходящих из одной и той же точки, рассекаются ими на пропорциональные отрезки

• Если при пересечении двух прямых третьей прямой (секущей):

а) внутренние накрест лежащие углы равны;

б) сумма внутренних односторонних углов равна 180°;

в) соответственные углы равны, то прямые параллельны (признаки параллельности двух прямых)

• Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то:

а) внутренние накрест лежащие углы равны;

б) сумма внутренних односторонних углов равна 180°;

в) соответственные углы равны (обратные теоремы)