2. Обработка результатов моделирования

Обработка результатов моделирования (пункты 2-5) производится в среде Microsoft Excel (рис. 3 и описание к нему).

Описание рисунка 3.

столбец А – массив номеров точек, в которых определяются значения координат. Этот столбец формируется до проведения моделирования.

столбцы В, С – массивы значений координат Х и У, определяемые по (4).

столбец D – массив случайных чисел Δ_i, распределенных по нормальному закону с математическим ожидание равным 0 мм и СКО равным 0,05 мм, полученных с помощью процедуры «Генерация случайных чисел» пакета «Анализ данных» Microsoft Excel.

столбец Е – массив измеренных значений координат У по (5).

столбец F – квадраты отклонений, полученные аналогично пункту 3 данного описания. Начальные приближения коэффициентов k и b задаются до процедуры аппроксимации.

ячейка F26 – сумма квадратов отклонений. Она также является целевой ячейкой для процедуры «Поиск решений».

ячейки А29, В29 – ячейки, в которых задаются начальные приближения и в которых помещаются результаты работы процедуры «Поиск решений». На рис. 3 показаны результаты процедуры «Поиск решений» (начальные приближения были соответственно k=0 и b=0).

столбец G – массив отклонений (y_дi-y).

ячейки D29, E29 – минимум и максимум соответственно столбца G.

ячейка F29 – отклонение от прямолинейности по (6).

Работа № 3. Исследование влияния ограниченности поверхности на результаты вычисления параметров прямых.

1. Порядок выполнения работы.

При координатных измерениях параметров поверхностей, которые представлены в конструкции деталей малыми сегментами, характерно то, что небольшие погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в результатах измерений. Такая ситуация имеет место, например, при измерении прямолинейных профилей длиной до 2 мм. В программном обеспечении КИМ и других средств координатных измерений для определения параметров присоединенных элементов обычно используется метод наименьших квадратов, для чего минимизируется функция:

(1)

где a = a₀, a₁, … a_i, … a_k – искомые параметры присоединенного элемента;

– отклонения измеренных n точек от математического объекта.

В решении задачи (1) явно или неявно задействованы матрицы, вычисляемые по координатам X,Y,Z измеренных на поверхности точек. Если область измерения поверхности становится малой, то ухудшается обусловленность матрицы, а это ведет к тому, что малые изменения во входных данных влекут за собой большие изменения в результатах решения задачи. Данный класс задач принято называть плохо обусловленными. Поверхность решения такой задачи представляет «овраг» с почти горизонтальным дном, у которого нет четко выраженной точки минимума. Поэтому, в зависимости от начального приближения решение задачи (1) может оказаться в любой точке на дне получившегося «оврага».

Одним из путей решения проблемы плохой обусловленности может быть использование метода регуляризации, автором которого является академик А.Н.Тихонов. Суть метода состоит в добавлении к условию задачи некой дополнительной (априорной) информации, приводящей задачу к хорошо обусловленной. В этом случае, выражение (1) преобразуется в:

(2)

где - регуляризирующий член, содержащий сумму квадратов отклонений параметров от их номинальных значений:

.

(3)

Благодаря вводу в задачу регуляризирующего звена поверхность решения задачи имеет четкую точку минимума, что позволяет получить однозначное решение задачи.

Коэффициент регуляризации w является важным параметром в выражении (3). Если значение коэффициента w мало, то влияние номинальных значений параметров на конечное решение будет не достаточно для того, чтобы получить четкую точку минимума функции и решение будет зависеть в основном от суммы квадратов отклонений точек от поверхности, а значит, задача останется плохо обусловленной. При слишком большом коэффициенте - сумма квадратов отклонений точек от поверхности не будет оказывать нужного влияния на функцию минимизации, и решение будет подбираться максимально приближенным к номинальным значениям, практически без учета отклонений формы. Таким образом, выбор оптимального значения коэффициента регуляризации является важной задачей.

Одним из методов определения оптимального коэффициента регуляризации является метод L-кривой. Метод состоит в следующем: коэффициент регуляризации w изменяется от w_min = 0 до w_max с некоторым шагом. Для каждого значения коэффициента w рассчитываются параметры объекта, и строится график зависимостей, по вертикальной оси которого отложена сумма квадратов отклонений параметров от их номинальных значений, а по горизонтальной оси - коэффициент w. В начале кривой с ростом коэффициента w сумма квадратов отклонений параметров от их номинальных значений быстро уменьшается при незначительном увеличении w. При переходе через некоторую точку процесс изменяется, и уже небольшому уменьшению суммы квадратов отклонений параметров будет соответствовать существенное увеличение w. Характерная форма кривой дает возможность определить точку с максимальной кривизной, которая и будет соответствовать оптимальному коэффициенту регуляризации.

1. Смоделировать прямолинейный профиль (см. работу № 2) по уравнению , длина 0,1 мм. Для простоты моделирования принять, что прямая соответствует линии горизонта, поэтому коэффициенты k_ном = 0 и b_ном = 0. Число N точек измерения, равномерно расположенных по длине профиля, 3. Имитация погрешностей измерения координат точек осуществляется генерацией случайных чисел по нормальному закону распределения с математическим ожиданием равным 0 мм и средним квадратическим отклонением равным 0,002 мм. Измеренные значения координат (x_i,y_i) N точек получаются как сумма расчетных значений координат и случайных чисел.

2. Параметры присоединенной прямой определяются в соответствии с (2) и (3), поэтому минимизируется функционал:

Для определения оптимального значения коэффициент регуляризации w при нахождении параметров прямых значения w меняются от 0 до 0,03 с шагом 0,001.

3. Построить график зависимости, по вертикальной оси которой откладывается , а по горизонтальной оси - w. По графику определить оптимальный w и для этого значения параметры k и b (рис. 4).

4. Повторить пункты 1 – 3 для N равных 4 и 5. Сравнить результаты.

Рис. 4. Вид экрана Microsoft Excel (пункт 4)