§2. Лінійні крайові задачі

2.1. Постановка задачі

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння

(2.1)

із лінійними крайовими умовами.

. (2.2)

Тут – задані на відрізку [a,b] неперервні функції, – деякі числа,

Будемо припускати надалі, що розв’язок крайової задачі (1.1),(1.2) існує і єдиний. Задача полягає у знаходженні значень розв’язку у вузлах сітки

.

2.2. Побудова різницевої схеми

Введемо такі позначення: де

Замінимо похідні у кожному внутрішньому вузлі сітки різницевими відношеннями.

.

Якщо , то похибка такої заміни у кожному вузлі складає [4,6].

Диференціальне рівняння (2.1) апроксимується такою системою різницевих рівнянь:

(2.2)

або після перетворення

(2.3)

У точках та замінимо перші похідні різницевими відношеннями .

Похибка такої заміни складає . На підставі цієї заміни одержимо апроксимацією крайових умов (2.2)

Перепишемо одержані рівняння у вигляді

(2.4)

де

Підвищити порядок апроксимації крайових умов, а заодно і різницевої схеми, можна, завдяки апроксимації похідних у точках a і b формулами числового диференціювання:

.(2.5)

На підставі (1.5) крайові умови (1.2) набудуть вигляду

,

.

Таким чином, числовий розв’язок крайової задачі можна одержати з різницевої схеми першого порядку (2.3),(2.4) або з різницевої схеми другого порядку (2.3), (2.6). У першому випадку матриця системи лінійних рівнянь тридіагональна, а у другому – ні, оскільки рівняння містить , а – . Але можна виключити з рівняння , якщо залучити перше рівняння (2.3) , а , залучивши останнє рівняння (2.3). Після відповідних перетворень замість (2.6) одержимо

(2.7)

де

Якщо виконуються умови

то різницева схема (2.3),(2.7) має єдиний розв’язок, який збігається до точного розв’язку на сітці , коли [4,6]. Швидкість збіжності – для різницевої схеми (2.3),(2.4) і для різницевої схеми (2.3),(2.7).

2.3. Методи прогонки для системи із тридіагональною матрицею

Запишемо різницеву схему у вигляді

(2.8)

де

.

Значення визначені згідно (2.4) або (2.7). Матриця системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2.8) набуває вигляду

.

Тут Матриця А належить до класу тридіагональних матриць. Ненульовими є не більше 3n+1 елементів. Алгоритм методів прогонки ґрунтується на ідеї методу Гаусса послідовного виключення невідомих ([5];[6], c.17-18;[7], c.73-80; [9],c.32-35).

2.3.1. Метод правої прогонки

Прямий хід методу прогонки полягає в обчисленні за рекурентними формулами коефіцієнтів прогонки:

(2.9)

Після знаходження коефіцієнтів прогонки обчислюються значення . Цей етап називається оберненим ходом методу прогонки:

(2.10)

Оскільки значення y_i послідовно обчислюються при переході від i+1 до i , то формули (2.9)-(2.10) називаються формулами правої прогонки.

2.3.2. Метод лівої прогонки

Тут значення y_i послідовно обчислюються з ростом індексу i (зліва направо).