1.7.1. Методи Адамса

([1], c. 333-342; [2], 215-217; [6], c.230-236 ; [9], c.16).

Відповідна різницева схема набуває вигляду

n=m, m+1, … ,

де f _n- = f (t _n-, y _n- ); b₀, b₁, …b_m – деякі коефіцієнти.

Якщо b₀=0, то метод Адамса явний, оскільки y_n визначається явним чином за формулою

n=m, m+1, …

Якщо ж b₀ то метод неявний і y_n потрібно знаходити із рівняння

n=m, m+1, … ,

Як показано в [4,6], для фіксованого m явна схема Адамса має порядок р=m, а неявна p=m+1, якщо тільки розв’язок диференціальної задачі

Наведемо приклади різницевих схем Адамса. Неявна схема Адамса порядку p=2 набуває вигляду

n=1, 2, … , (1.14н)

.

Явна схема Адамса порядку p=2 вимагає попереднього знаходження y₁, яке можна обчислити методом Рунге-Кутти (див. 1.4.) порядку 2. Значення y_n обчислюється за формулою

n= 2, 3, … , (1.14я)

Неявний і явний методи Адамса третього порядку мають відповідно вигляд:

n= 2, 3, … , (1.15н)

і

n= 3,4, … (1.15я)

Уточнення y_n здійснюється методом простої ітерації

i=0,1, … .

Коефіцієнти неявних і явних методів Адамса порядку р=2-4 наведені у табл. 5 і 6.

Таблиця 5. Неявні методи Адамса

2
3
4
	b0	b1	b2	b3

Таблиця 6. Явні методи Адамса

2
3
4
	b1	b2	b3	b4

Використовуючи останній рядок таблиці 6, явний метод Адамса четвертого порядку можна виписати так:

(1.16)

Отримана формула називається екстраполяційною формулою Адамса. Вона застосовується для передбачення (прогнозу) значення . Обчислене за формулою (1.16) значення шуканого розв’язку позначають через . Це значення уточнюється за формулою корекції

(1.17)

яка називається інтерполяційною формулою Адамса. Тут Отримане значення можна уточнити ще краще, використавши замість в (1.17) і коректуючи знов. Точність одержаного результату в методі Адамса контролюється на кожному кроці за допомогою формули

.

Якщо , де - наперед задана точність, то покладають і далі переходять до обчислення . Якщо ж , то вдвічі зменшують крок інтегрування h. При цьому виникає потреба і в перерахунку ,,початкового відрізку’’.

Розглянута схема для методу 4-го порядку реалізується аналогічним способом для методів інших порядків.