Міністерство освіти і науки України

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

Ч и с л о в і м е т о д и

Лабораторний практикум

Частина 1

Чернівці

ЧНУ

2002

ББК 22.192.5я73

Ч-674

УДК 519.62(076.5)

Друкується за ухвалою редакційно-видавничої ради

Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

У посібнику розглянуто основні теоретичні відомості, необхідні для виконання лабораторних завдань з курсу “Числові методи”. Розглянуто, зокрема, розділи “Числове розв’язування задачі Коші” і “Числові методи розв’язування лінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь”. Наведено варіанти завдань для лабораторних робіт та рекомендації щодо їх виконання. Значна увага звернута застосуванню математичних пакетів для розв’язування запропонованих у посібнику задач.

Для студентів математичного факультету спеціальностей “Прикладна математика”, “Інформатика” та “Соціальна інформатика”.

Ч-674 Числові методи: Лабораторний практикум.Частина 1 / Укл.: Бігун Я.Й., Котенко Н.В., Сопронюк Т.М. - Чернівці: ЧНУ, 2002. – 52 c.

ББК 22.192.5я73

УДК 519.62(076.5)

© Видавництво "Рута" Чернівецького

національного університету, 2002

Навчальне видання

Числові методи

Лабораторний практикум

Укладачі: Бігун Ярослав Йосипович,

Котенко Ніна Володимирівна,

Сопронюк Тетяна Миколаївна.

Відповідальний за випуск Петришин Р.І.

Підписано до друку 20.03.2002. Формат 60 x 84/16

Папір газетний. Друк офсетний. Ум.друк. арк.2,4. Обл.-вид. арк. 2,6.

Зам.131. Тираж 100. Безплатно.

Друкарня видавництва "Рута" Чернівецького національного університету

58012, Чернівці, вул.Коцюбинського, 2 §1. Числові методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь

1.1. Постановка задачі

Задача Коші для диференціальних рівнянь вигляду

(1.1)

полягає у знаходженні неперервно диференційовної на проміжку функції , яка задовольняє рівняння (1.1) і початкову умову

. (1.2)

Аналогічно формулюється задача Коші і для системи диференціальних рівнянь [1,2,3,4,6,9]. У цьому випадку – n-вимірний вектор, – вектор-функція, знак “ ” означає транспонування.

На практиці найчастіше будується числовий розв’язок задачі (1.1), (1.2). Для цього задамо на сітку , де – вектор кроків, . Найбільш зручною є рівномірна сітка, для якої , а вузли розміщені на рівномірно.

В однокрокових методах розв’язок у вузлі знаходиться за відомим (точним чи наближеним) значенням розв’язку у вузлі . Оскільки задано, то послідовно визначається значення розв’язку у вузлах . Найчастіше використовується метод Ейлера, його модифікації та методи Рунге-Кутти.

В багатокрокових методах [1,2,3,4,6,9] для визначення розв’язку у вузлі потрібно знати значення розв’язку у вузлах Таким є методи Адамса, Мілна, Гіра, Хеммінга та ін.

1.2. Метод Ейлера та його модифікації

Задамо на відрізку рівномірну сітку .

За методом Ейлера наближене значення розв’язку задачі (1.1),(1.2) обчислюється за формулою:

(1.3)

.

Для випадку нерівномірної сітки

(1.4)

.

Методи (1.3), (1.4) називаються явними, оскільки явним чином одержується через значення . Наступна формула задає неявний метод Ейлера

(1.5)

.

На кожному кроці в цьому випадку для знаходження потрібно розв’язати рівняння, наприклад методом простої ітерації або методом Ньютона.

Різниця , де - наближене, а точне значення розв’язку у вузлі , , називається похибкою методу на кроці. Для методів Ейлера (1.3) і (1.5)

(1.6)

де C=const>0, [4,6]. Тут – простір двічі неперервно диференційовних функцій на відрізку [a,b]. Зауважимо, що . На сітці маємо і не залежить від h. Отже, метод Ейлера має перший порядок точності.

Підвищити порядок методу Ейлера вдається шляхом його модифікації _{([2],c.202; [3],c.219-220; [6], c.216-217 ; [9], c.7).} Розрахункові формули удосконаленого методу Ейлера записуються у вигляді

(1.7)

Формули удосконаленого методу Ейлера-Коші мають вигляд

(1.8)

Із методів Ейлера (1.3) і (1.5) одержується неявний метод

(1.9)

.

Наближене значення розв’язку можна знайти методом ітерацій [6]:

(1.10)

Нульове наближення доцільно обчислити, наприклад, методом Ейлера (1.3).

Методи (1.7)-(1.9) мають похибку на кроці якщо .